用积分方法证明下图中球缺的体积为：V=πH²（R-H/3）。

由曲线y=x³，直线x=2，y=0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积（如图所示）。

设S₁（t）是曲线√y=x与直线x=0及y=t所谓的图形的面积，S₂（t）是曲线√y=x与直线x=1及y=t所围图形的面积。试求t为何值时，S₁（t）+S₂（t）最小？最小值是多少？

求抛物线y=-x²+4x-3及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积（如图所示）。

将盛满水的圆锥形容器（其侧面如图所示）内的水全部抽到容器顶部上方5m高处的水箱内。求所需作的功。

设f（x）是以ι为周期的连续函数，证明：

即f（x）dx的值与a无关。