证明格尔丰德引理：设X是Banach空间，p（x）是X上泛函，满足条件：
1.p（x）≥0
2.a≥0时，p（ax）=ap（x）
3.p（x₁+x₂）≦p（ax）=ap（x）
4.当x∈X，x_nx→x时，≥p（x），证明必有M>0，使对一切x∈X，成立p（x）≦M||x||

设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p≥1，若对一切g∈L^p[a,b],函数f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则f∈L^q[a,b],其中

设y={η₁，η₂，...η_n，...}是一列复数，若对任何
x={ξ₁，ξ₂，...ξ_n，...}∈C₀
级数都收敛，证明：y∈ι¹

证明：在完备度量空间X中存立闭球套定理，即若
S_υ={x|d(x,x_υ)≤ε_υ}，υ=1,2，...，
且S₁S₂...S_n...,ε_υ→0(υ→∞),则存在唯一的x∈;反之，若在度量空间X中存立闭球套定理，则X是完备度量空间

设α₀，α₁，...，α_n，...是一列数，证明存在[a,b]上有界变差函数g(t)，使=α_n,n=0,1,2,...成立的充要条件为对一切多项式

成立，则

其中M为常数

设X是赋范线性空间，x₁，x₂，...x_k是X中k个线性无关向量，α₁，α₂，...，α_k是一组数，证明：在X上存在满足以下条件：
（1）f（x_υ）=α_υ，υ=1，2，...，k；
（2）||f||≤M。
线性边疆泛函f的充要条件为：对任何数t₁,t₂,...,t_k