设球体占有闭区域它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心。

图所示的是某一建筑物的屋顶，它由曲面Σ₁与Σ₂拼接而成，Σ₁是半径为1的半球面，Σ₂是半径为2的半球面的一部分，试问该屋顶的面积是多少？

从一块半为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏（如图）问留下的扇形的中心角φ取多大时，做成的漏斗的容积最大？

设一个直椭圆的锥面方程为（z-1）²= （0≤z≤1，a〉0，b〉0），若将该直椭圆锥体切削成长方体（长方体的长、宽、高平行于坐标轴，如图所示），试用拉格朗日乘数法求所能获得的长方体的最大体积。

利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度ρ=1）：

设z=，求证x²+y²=2z。

设T=2π，求证l+g=0。

某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图）。截而的面积为5m²．问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？