设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合。证明：如果[x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy]是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的每一个类恰好是关于理想[0]的一个倍集。

设Z[i]是Gauss整环，即Z[i]={a+bi|a，b∈Z}，其中Z是整数环。问：商环Z[i]/（1+i）有多少个元素？是否为域？

在所有n阶循环环中，有且只有T（n）个是互不同构的，其中T（n）表示n的正因子数的个数。

证明：有理数域Q的加群（Q，+）的自同态环与Q同构。

证明：若加群G为可分解群，则其自同态环End 不是域。

如果一个环的特征是素数，问：这个环是否一定无零因子？

设R是一个正则环，证明：若R中元素a对R中任意元素x都存在b∈R使ax+b+axb=0，则a=0。

若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。对正则环R中任二元素a，b，都有R中幂等元e₁，e₂使Ra=Re_{1/sub>，Ra+Rb=Re2/sub>.}

若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。指出正则环的子环不一定是正则环。

若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。证明：p-环是正则环，但反之不成立。