设X是Banach空间，是一个闭球套，即
证明：存在着唯一的点x∈X，使

设X是任一集合，若对任意的x，y∈Z.都存在一个实数与它们相对应，记作ρ（x，y），并且满足下列条件（称为距离公理）：
（1）非负性ρ（x，y）≥0，且ρ（x，y）=0⇔x=y
〈2）对称性ρ（x，y）=ρ（y，x）
（3）三角不等式ρ（x，y）≤ρ（x，z）+ρ（z，y）
则称ρ（x，y）为x与y之间的距离，并称定义了距离的集合为距离空间或度量空间，证明：n维Euclid空间Rⁿ，连续函数空间C（[a，b]）与p方可和数列空间l^p都是距离空间．

设X是实内积空间，x，y∈X

设X是实内积空间，x，y∈X

在复内积空间X中，试由内积公理证明：内积对于第二变元具有共轭线性性质，即

设A（t）为实矩阵，（x1（t）x2（t）…xn（t））是x=A（t）x的基解矩阵，其中x1（t）与X2（t）是一对共轭复值解向量，记
证明：用向量y1，y2代替x1，x2后所得的矩阵（y1（t）y2（t）x3（t）…xn（t）也是原方程组的一个基解矩阵．

设A（t）为实矩阵，x=x（t）是=A（t）x的复值解，试证明x（t）的实部和虚部分别都是它的解，