问答题X 纠错

设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

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问答题

设S是非零的反称实矩阵，证明：设A是正定矩阵，则丨A+S丨＞丨A丨。

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n×n复方阵A称为幂零的，若有正整数k，使Ak=0。证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（Ak）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

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证明：如果Α1，Α2，...，Αs是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量α，使Α1α，Α2α，...，Αsα也两两不同.

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n×n复方阵A称为幂零的，若有正整数k，使Ak=0。证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

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证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。

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证明：设A是n×n非零方阵，则有正整数k≤n，使秩（Ak）=秩（Ak+1）=秩（Ak+2）。

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设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。

证明：丨g（F）丨=（-1）。

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设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。

证明：对数域P上次数≥1的多项式G（x）有（G（x），F（x））=1，当且仅当丨G（F）丨≠0。

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设A，B，C是n×n方阵，D=En+BCA，试证如果C（E-AB）=（E-AB）C，则（E-BA）D=D（E-BA）=E，并计算E+ADB。

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设A是一n级下三角形矩阵，证明：如果aii≠ajj当i≠j，i，j=1，2，...，n，那么A相似于一对角矩阵.

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