问答题X 纠错

试将微分方程组x’1-x2=e’，x”2+x1-x’2-x2=sint化为一阶微分方程组。

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问答题

试将微分方程x”-tx’+x=cost化为一阶微分方程组。

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问答题

给定方程组x’=A（t）x，这里A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，设Φ（t）为方程组的一个基解矩阵，n为向量函数F（t，x）在a≤t≤b，‖x‖＜+∞上连续，t0∈[a，b]。试证明初值问题

的唯一解φ（t）是积分方程组：
x（t）=Φ（t）Φ-1（t0）η+∫tt0Φ（t）Φ-1（s）F（s，x（s））ds（**）的连续。反之（**）的连续解也是初值问题（*）的解。

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问答题

给定方程x”+8x’+7x=f（t），其中f（t）在0≤t＜+∞上连续，试利用常数变易公式，证明：如果当t→+∞时f（t）→0，则方程的每一个解φ（t）满足φ（t）→0（当t→+∞时）。

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问答题

给定方程x”+8x’+7x=f（t），其中f（t）在0≤t＜+∞上连续，试利用常数变易公式，证明：如果f（t）在0≤t＜+∞上有界，则方程的每一个解在0≤t＜+∞上有界。

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问答题

试求方程x”+x=sec t的通解。

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问答题

考虑方程组x’=Ax+f（t），其中

试验证

是x’=Ax的基解矩阵。

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问答题

设Φ（t）为方程x’=Ax（A为n×n常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E）。证明：Φ（t）Φ-1（t0）=Φ（t-t0），其中t0为某一值。

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问答题

设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：Ψ（t）为方程y’=-ATy的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使ΨT（t）Φ（t）=C。

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问答题

设A（t）为区间a≤t≤b上的连续n×n实矩阵，Φ（t）为方程x’=A（t）x的基解矩阵，而x=φ（t）为其一解。证：对于方程y’=-AT（t）y的任一解y=ψ（t）必有ψT（t）φ（t）=常数。

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问答题

考虑方程组x’=A（t）x，（*）其中A（t）是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，它的元为aij（t）（i，j=1，2，…，n）。解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：W（t）=W（t0）e∫tt0[a11（t）+a22（t）+…+ann（t）]dt，t0，t∈[a，b]。

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