问答题X 纠错

设f：I→R是任一函数，x0∈I，证明f（x）在x0处可导的充要条件是：存在一个函数φI→R，使f（x）-f（x0）=φ（x）（x-x0），x∈I；此时，f′（x0）=φ（x0）.

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问答题

设y=f（x）=，证明：x=f（y）.

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证：由y=f（x）=，得cxy-ay=ax+b，即x=，所以x=f（y）.

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问答题

设p是坐标平面R2到x轴上的投影映射，问p是否单射或满射？并求p-1（p（1，1）），p（p-1（1，0））），p-1（1，0）∩p-1（3，0）.

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解：p为满射但不是单射.

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问答题

设f：A→B与g：B→A是两个任意映射，若g°f=IA；证明f是单射，g是满射.

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问答题

设f和g都是R到自身的映射：f：x|→x+a，g：|→x-a，x∈R，证明他们互为逆映射.

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问答题

设有一对新出生的兔子，两个月之后成年，从第三个月开始，每个月产一对小兔，且新生的每对小兔也在出生两个月之后成年，第三个月开始每月生一对小兔．假定出生的兔子均无死亡；
（1）问一年后共有几对兔子？
（2）问个月之后有多少对兔子？
（3）若n个月之后有Fn对兔子，试求（题中所讲的一对兔子均是雌雄异性的）.说明：该间题是意大利数学家Fibonacci于十三世纪初（1202年）研究免子繁殖过程中数量变化规律时提出来的，其中的数列Fn被后人称为Fibonacci数列.有趣的是，极限
正是“黄金分割”数，在优选法及许多领域得到很多新的应用.

参考答案：

解：先用作图方法来推算一下，见图1.6.1.

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问答题

证明：若f在有限区间I上一致连续，则f在I上有界.

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证：

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问答题

证明：若an＞|an-1|+|an-2|+…+|a1|+|a0|，则方程ancosnx+an-1cos（n-1）x+…+a0=0在（0，2π）内至少有2n个根.

参考答案：

证：因为

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问答题

设f∈c（-∞，+∞），并且f是奇函数，证明：方程f（x）=0至少有一个根.若f是严格单调的，则x=0是它的唯一根.

参考答案：

证：

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问答题

设f∈c[a，b]，{xn}[a，b]是任一数列.若f（x）=A∈R，证明：方程f（x）=A在[a，b]内必有一根.

参考答案：

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问答题

设f∈c[a，b]，并且x∈[a，b]，y∈[a，b]，使f（y）=|f（x）|，证明：存在ξ∈[a，b]，使f（ξ）=0.

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