由两个质量皆为μ、角频率皆为ω的线谐振子构成的体系，加上微扰项Wˆ=-λx₁x₂（x₁,x₂分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

证明如下关系式

利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。 

证明如下关系式

质量为m的粒子在如下一维势阱中运动（V₀＞0）

若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度a。

已知氢原子在t=0时处于状态其中φ_n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t=0时的波函数。