设F是平面上无限有界闭集，{α_n}是F的一稠密子集，在ι²中定义算子T:
Tx=T(x₁,x₂,...,x_n,...)=(α₁,x₂,...,α_nx_n,...)
则α_n都是特征值，σ（T）=F，F\{α_n}中每个点是T的连续谱。

设X=C[O，2π]，（Ax）（t）=e^itx（t），x∈X，证明
σ（A）={λ||λ|=1}

设T为定义在复Hibert空间X上的有界线性算子，若存在常数α＞0，使＜Tx,x＞＜tx,x＞≥α₀＜/tx，x＞＜x，x＞，则称T为正定的。证明：正定算子T必有有界逆算子T^-1，并且＜tx，x＞＜x，x＞‖T^-1‖≤＜/x，x＞＜/tx，x＞

设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足
＜Ax，y＞=＜x，By＞＜x，by＞
其中x，y为X中任意向量，证明A是有界算子。

设T是Banach空间X到賦范线性空间F中的线性算子，令
M_n={x|‖Tx‖≤n‖x‖}，n=1，2，...，
证明：总有M_n0在X中稠密。

设X是线性空问，||x||₁和||X||₂是X上两个范数，若X按||x||₁及||x||₂都完备，并且由点列{x_n}按||x||₁收敛于0，必有按||x||₂也收敛于0，证明存在证书a和b,使
a||x||₁≤||x||₂≤b||x||₁

证明：ι^p中点列x_n={ξ₁^（n）,ξ₂^（n）,...},n=1，2,...，弱收敛于x={ξ₁,ξ₂,...}∈ι^p的充要条件为＜∞，且对每个k,=ξ_k