测量齿轮的公法线长度是检验齿轮精度的常用方法之一。试推导渐开线标准直齿圆柱齿轮公法线长度的计算公式，式中m为齿轮模数，z为齿轮齿数，α分度圆压力角，k为跨齿数，其计算公式为。

已知一对等顶隙直齿圆锥齿轮传动，z₁=15，z₂=30，m=5mm，，c^*=0.2，Σ=90°，试确定这对圆锥齿轮传动的几何尺寸。

设计一铣床进给系统中带动工作台转动的阿基米德蜗杆传动。要求i₁₂=20.5，m=5mm，α=20°，，c^*=0.2，试求蜗杆传动的基本参数（z₁、z₂、q、γ₁及β₂）、几何尺寸（d₁、d₂、d_a1及d_a2）和中心距a。

设已知一对斜齿轮传动，z₁=20，z₂=40，m_n=8mm，α_n=20°，，B=30mm，并初取β=15°，试求该传动的中心距a（a值应圆整为个位数为0或5，并相应重算螺旋角β）、几何尺寸、当量齿数和重合度。

在某牛头刨床中，有一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动。已知z₁=17，z₂=118，m=5mm，α=20°，，a＇=337.5mm。现已发现小齿轮严重磨损，拟将其报废，大齿轮磨损较轻（沿齿厚方向两侧的总磨损量为0.75mm），拟修复使用，并要求新设计小齿轮的齿顶厚尽可能大些，问应如何设计这一对齿轮？

已知一对外啮合变位齿轮传动，z₁=z₂=12，m=10mm，α=20°，，a＇=130mm，试设计这对齿轮传动，并验算重合度及齿顶厚（s_a应大于0.25m，取x₁=x₂） 。