如图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M=6m，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。

如图所示，质量m的卫星开始时绕地球作半径为r的圆周运动。由于某种原因卫星的运动方向突然改变了θ=30°角，而速率不变，此后卫星绕地球作椭圆运动。求
（1）卫星绕地球作圆周运动时的速率v；
（2）卫星绕地球椭圆运动时，距地心的最远和最近距离r₁和r₂。

如图所示，一质量为m的质点以v的速度作匀速直线运动。试证明：从直线外任意一点O到质点的矢量r在相同的时间内扫过的面积相同。

如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕过O点的水平轴在竖直面内转动。若盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；
（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

如图所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k=40N/m，当θ=0°时弹簧无形变，细棒的质量m=5.0kg，求在θ=0°的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？

如图所示，定滑轮转动惯量为J，半径为r；物体的质量为m，用一细绳与劲度系数为k的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。求：
（1）物体下落的最大距离；
（2）物体的速度达最大值时的位置。

如图所示，一均匀细杆长为L，质量为m，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度ω₀绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：
（1）作用于杆的摩擦力矩；
（2）经过多长时间杆才会停止转动。

质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为。其中a，b为矩形板的长，宽。

一通风机的转动部分以初角速度ω₀绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：
（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？
（2）在此时间内共转过多少转？

如图所示，从坐标原点以v₀的初速度发射一发炮弹，发射倾角θ= 45°。当炮弹到达处时，突然爆炸分成质量相同的两块，其中一块竖直下落，求另一块落地时的位置x₂是多少？