试证明多维连续无记忆信道的充要条件为：

试证明两连续随机变量之间的平均互信息I（X；Y）是输入随机变量X的概率密度函数p（x）的型凸函数。

N维连续型随机序列X1X2...XN，其各分量幅度分别受限为[ai，bi]。证明：当随机序列的分量各自达到均匀分布并彼此统计独立时熵最大。最大熵为：

N维连续型随机序列X1X2...XN，有概率密度p（X1X2...XN）以及证明：当随机序列的分量各自达到正态分布并彼此统计独立时熵最大。最大熵为：

在连续信源中，根据差熵、条件差熵和联合差熵的定义，证明
（1）h（X|Y）≤h（X），当且仅当X和Y统计独立时等号成立；
（2）h（X1X2...XN）≤h（X1）+h（X2）+h（XN），当且仅当X1X2...XN彼此统计独立时等式成立。

有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值处在a1和a2之间，此信源连至某信道，信道接收端接收脉冲的幅度y处在b1和b2之间。已知随机变量X和Y的联合概率密度函数：

试计算h（X），h（Y），h（XY）和I（X；Y）。

设给定两随机变量X1和X2，它们的联合概率密度为：

求随机变量Y1=X1+X2的概率密度函数，并计算变量Y的熵h（Y）。