设R是一个有单位元的交换环，证明：0≠f（x）是R[x]的零因子⇔有0≠c∈R使cf（x）=0。

设R是一个p²（p为素数）阶环，证明：R是NF-环⇔R是域或R≌Z_p⊕Z_p。

证明：n阶循环环R是域的充要条件是，n为素数且R不是零乘环。

设环R的元素有一个分类，包含元素x的类用[x]表示，而S是所有这些类作成的集合。证明：如果[x]+[y]=[x+y]及[x][y]=[xy]是S的两个代数运算，则[0]是环R的一个理想，且所给的每一个类恰好是关于理想[0]的一个倍集。

设Z[i]是Gauss整环，即Z[i]={a+bi|a，b∈Z}，其中Z是整数环。问：商环Z[i]/（1+i）有多少个元素？是否为域？

在所有n阶循环环中，有且只有T（n）个是互不同构的，其中T（n）表示n的正因子数的个数。

证明：有理数域Q的加群（Q，+）的自同态环与Q同构。

证明：若加群G为可分解群，则其自同态环End 不是域。