如图所示，曲线y=4-x与y=2x+1相交于A、B两点，C为弧段上的一点，问C点在何处时△ABC的面积最大？并求此最大面积。

在A、B两城市间铺设铁路，如果两城市间为两种地质区，分界线为直线（如图所示）；在区域I内铁路造价为C₁元/km，在区域Ⅱ内的造价为C₂元/km，A、B与直线的垂直距离分别为b₁km与b₂km，A、B间的水平距离为akm，问尸点造在何处造价最低？

甲乙两用户共用一台变压器（如图所示）问变压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？

某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆的形状如图所示，截面积为am²，问底宽x为多少时，才能使建造时所用的材料最省？

设函数f在x=0的某邻域内有二阶导数，且。

设f∈C³[0，1]，f（0）=1.f（1）=2，f′（1/2）=0。证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使。