问答题X 纠错
证明：(1)对任意的X1，X2∈V，任意的k∈K，有
φ(X1+X2)=A(X1+X2)B=AX1B+AX2B
=φ(X1)+φ(X2)，
φ(AX1)=A(kx1)B=kφ(X1)
所以φ是V上的线性变换．
(2)充分性
因为A，B都是可逆的，即A-1、B-1存在，所以对任意的X∈V，有φ(A-1XB-1)=A(A-1XB-1)=X，即X有原像；对任意的X1，X2∈V，若φ(X1)=φ(X2)，即AX1B=AX2B，有X1=A-1(AX2B)B-1=X2；
故φ是双射，由(1)知φ是V上的线性变换，所以φ是线性同构的；
必要性：
因为φ(0)=AOB=0，又φ是双射，所以若X≠0，则φ(X)≠0，即AXB≠O，于是|A|·|X|·|B|=|AXB|≠0，可得|A|≠0，|B|≠0，故A，B都可逆．[逻辑推理] φ已具体给出，只需验证其符合线性变换的定义即可．要证φ是线性同构的，只要证明φ是双射即可．
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