问答题X 纠错
[证明]应用数学归纳法．可知n=2时本命题已成立．今假定命题于n=k时已经成立，从而欲推证n=k+1时亦成立．设x1·x2·x3…xk+1=1．若所有xi都相等，则命题显然成立．故不妨假设各x不全相等，因之其中必有一个x大于1而另一则小于1．例如可设x1＜1，xk+1＞1．于是乘积可写成
(x1·xk+1)·x2·x3…xk=1．视x1·xk+1=y1，则由归纳法假设得y1+x2+x3+…+xk≥k．因此，
x1+x2+x3+…+xk+xk+1=(y1+x2+x3+…+xk)+xk+1+x1-x1·xk+1≥k+x1+xk+1-x1·xk+1=k+1+x1+xk+1-x1·xk+1=1=k+1+(xk+1-1)(1-x1)＞k+1故归纳证明已告完毕
当然本命题亦可利用关于限制极值的拉格朗日乘数法来证．
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