求证：
①倒格矢Gh=h₁b₁+h₂b₂+h₃b₃垂直于米勒指数为（h₁h₂h₃）的晶面系。（斜体代表矢量）
②如果正格子（h₁h₂h₃）晶面系的面间距为d，则倒格子Gh=h₁b₁+h₂b₂+h₃b₃的长度为2π/d。

用半径为r的球形原子，相互接触构成下列构造：
（a）简单立方；
（b）体心立方；
（c）金刚石；
（d）面心立方；
（e）六方密堆积。
求：
①点阵常数；
②原子配位数；
③晶胞中的原子数目；
④原子在晶胞中占有的体积比例；
⑤空隙的体积百分数

如果离子晶体中离子总的相互作用势能为：

其中，N，α，ε₀，Z，λ，ρ为常数。N为离子原胞数，α为马德隆常数，Z为配位数。
证明体弹性模量K，

设两离子的相互作用能表示为：

α为马德隆常数，e为电子电量的绝对值，ε0为介电常数，b为常数，Z为配位数。
（1）求离子间的相互作用力；
（2）求晶体中离子间距离由平衡位置r₀增大为平衡位置γ倍时（γ>1）外界所做的功。