玻尔原子的允许轨道半径和能量由下式给出：

证明以上方程可以写成

在一维周期性势场中运动的电子波函数分别具有如下形式：

这里a是一维晶格的晶格常数，f（x）是某个确定的函数，试用布洛赫定理指出上述各种情形下的波矢k值。

如只考虑最近邻的相互作用，用紧束缚近似方法可以得到简立方晶体中s态电子能带为
E（k）=E₀-A-2J（cos2πk_x+cos2πk_y+cos2πk_z）
试求：
（1）能带宽度。 
（2）能带底部和能带顶部的电子有效质量。

若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似方法可以得到体心立方晶格S态电子能带由下式确定：
E（k）=E₀-A-8Jcosak_xcosak_ycosak_z
其中J为交迭积分。试求： 
1.体心立方晶格的能带宽度 
2.能带底部和能带顶部的有效质量。
3.画出沿kx方向E（kx）和U（kx）的曲线。

已知一维晶体的电子能带可写成，式中a为晶格常数。求
（1）能带的宽度 
（2）电子波矢k状态时的速度 
（3）能带底部和顶部电子的有效质量