设连续型随机变量𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛独立同分布.如果𝜉_𝑖的概率密度𝑝（𝑥）关于𝑥=𝜇是对称的，即𝑝（𝜇+𝑥）=𝑝（𝜇⪯𝑥），且∫^∞_−∞|𝑥|𝑝（𝑥）𝑑𝑥收敛.

设𝜉为任一随机变量，试证明：何时上式等号成立？

设𝜙（𝑡）是特征函数，且|𝑡|≥𝑎（𝑎>0）时，𝜙（𝑡）=0.令证明：𝜙（𝑡）是特征函数.

在桥牌比赛中，将52张牌任意地分给东、南、西、北四家，求在北家的13张牌中： 
（1）恰有5张黑桃、5张红心、2张方块、1张梅花的概率 
（2）在已知有一张K的情况下，这张K是黑桃的概率

随机变量（X，Y）服从在区域{0<x<2，0<y<1}上均匀分布。
（1）求（X，Y）的概率密度函数及分布函数
（2）设ξ=X+Y，η=aX+bY，且ξ，η不相关，Dη=1，求a，b

设二维随机变量（𝜉，𝜂）具有联合密度函数如下，证明：𝜉+𝜂的特征函数等于𝜉，𝜂的特征函数之乘积，但是𝜉，𝜂并不相互独立.