设函数f(x)在[0，π]上连续，且
．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ ₁ ，ξ ₂ ，使f(ξ ₁ )=f(ξ ₂ )=0．

当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n+1)；

设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，
．

设f"(x)在[0，a]上连续，且f(0)=0，证明：
，其中
．

证明

求

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
连接而成．

(Ⅰ)求容器的容积；
(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功(长度单位为m，重力加速度为gm/s ² ，水的密度为10 ³ kg/m ³ ．)

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常量ρ，单位为kg/m ³ ．)

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为5:4．闸门矩形部分的高h应为多少米

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s．在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功
(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)