问答题X 纠错

已知函数f(x，y)满足
，且f(y，y)=(y+1) 2 -(2-y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积．

参考答案：解 由
得
f(x，y)=(y+1) 2 +g(x)．
又f(y，y)=(y+1) 2 -(2-y)lny，得
g(y)=-(2-y)lny，
因此
f(x，y)=(y+1) 2 -(2-x)lnx．
于是，曲线f(x，y)=0的方程为
(y+1) 2 =(2-x)lnx(1≤x≤2)．
其所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积为


对于偏微分
，特别注意积分后不是加上任意常数C，而是加上关于x的任意函数g(x)．
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问答题

设函数
，x∈[0，1]，定义函数列：
f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)=f[f 1 (x)]，…，f n (x)=f[f n-1 (x)]，…．
记S n 是由曲线y=f n (x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限

参考答案：解

由数学归纳法得

于是

故
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问答题设曲线L的方程为
．

设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．

参考答案：解 平面图形D的形心横坐标的计算公式为
，其中


所以D的形心的横坐标为


平面区域D的形心一般表达式为：
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问答题设曲线L的方程为
．

求L的弧长；

参考答案：解
，则


于是L的弧长

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问答题

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"-y"+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积．

参考答案：解 记y"=p，则y"=p"，代入微分方程，当x＞0时， 解得 因此 由已知y(0)=0，有，于是C2=0，故 ...
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问答题已知曲线L的方程为

求此切线与L(对应于x≤x 0 的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．

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问答题已知曲线L的方程为

过点(-1，0)引L的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；

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问答题已知曲线L的方程为

讨论L的凹凸性；

参考答案：解 由于


当t＞0时，
，故L是凸的．
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问答题曲线
与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．

计算极限

参考答案：解
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问答题曲线
与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．

求
的值；

参考答案：解

所以
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问答题设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．

已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．

参考答案：解 曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为


曲线y=f(x)的参数方程为


故


令
，则

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