若y=e2x+(x+1)ex是方程y"+ay’+by=cex的解，求a，b，..._考试资料网

问答题X 纠错

若y=e^2x+(x+1)e^x是方程y"+ay’+by=ce^x的解，求a，b，c及该方程通解．

参考答案：[解] 方法一将y=e^2x+(x+1)e^x代入方程
y"+ay’+by=ce^x
比较系数得
a=-3．b=2．c=-1
原方程为 y"-3y’+2y=-e^x
特征方程为 r²-3r+2=0
由此解得 r₁=1，r₂=2
设非齐次方程特解为y=Axe^x，将其代入方程
y"-3y’+2y=-e^x
得 A=1
则原方程通解为
y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x
方法二由于y=e^2x+(1+x)e^x=e^2x+e^x+xe^x为原方程的解，则y₁=e^2x必为齐次的解．(由方程非齐次项知非齐次解中只会出现e^x而不会出现e^2x)．
xe^x与e^x中，y₂=e^x为齐次的解．(若xe^x是齐次的解，ρ=1为特征方程二重根，但ρ=2已是一个根)
则齐次方程的特征方程为 (ρ-1)(ρ-2)=0，
即 ρ²-3ρ+2=0
齐次方程为 y"-3y’+2y=0
于是 a=-3，b=2
将y=xe^x代入方程y"-3y’+2y=ce^x得
c=-1．
则所求方程的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x．

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B．C₁y₁+C₂y₂-(C₁+C₂)y₃．
C．C₁y₁+C₂y₂+(1-C₁-C₂)y₃．
D．C₁y₁+C₂y₂-(1-C₁-C2)y₃．
y=C₁y₁+C₂y₂+y*
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