问答题X 纠错

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
连接而成．


(Ⅰ)求容器的容积；
(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功(长度单位为m，重力加速度为gm/s 2 ，水的密度为10 3 kg/m 3 ．)

参考答案：解法1 (Ⅰ)由对称性，所求的容积为


即该容器的容积为
．
(Ⅱ)因为当
时，功的微元
dW=10 3 gπ(1-y 2 )(2-y)dy；
当
时，功的微元
dW=10 3 gπ[1-(y-1) 2 )](2-y)dy，
故所求的功为


即所求的功为
．
解法2 (Ⅰ)所求的容积为


即该容器的容积为
．
(Ⅱ)同解法1．
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时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常量ρ，单位为kg/m 3 ．)

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(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)

参考答案：解 作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 W=W1+W2+W3， 其中W1是克服抓斗自重所作的功；W2是克...
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，且f(y，y)=(y+1) 2 -(2-y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积．

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设函数
，x∈[0，1]，定义函数列：
f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)=f[f 1 (x)]，…，f n (x)=f[f n-1 (x)]，…．
记S n 是由曲线y=f n (x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限

参考答案：解

由数学归纳法得

于是

故
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．

设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．

参考答案：解 平面图形D的形心横坐标的计算公式为
，其中


所以D的形心的横坐标为


平面区域D的形心一般表达式为：
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问答题设曲线L的方程为
．

求L的弧长；

参考答案：解
，则


于是L的弧长

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参考答案：解 记y"=p，则y"=p"，代入微分方程，当x＞0时， 解得 因此 由已知y(0)=0，有，于是C2=0，故 ...
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问答题已知曲线L的方程为

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