问答题X 纠错已知函数f(x)在
上连续，在
内是函数
的一个原函数，且f(0)=0．

证明f(x)在区间
内存在唯一零点．

参考答案：解 由题意，得

当
时，因为f"(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在
内无零点，且
．
由积分中值定理，存在
，使得
，由于当
时，f(x)＜0，所以


根据连续函数介值定理，存在
，使得f(ξ)=0．又因为当
时，f"(x)＞0，所以f(x)在
内至多只有一个零点．
综上所述，f(x)在
内存在唯一的零点．
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问答题已知函数f(x)在
上连续，在
内是函数
的一个原函数，且f(0)=0．

求f(x)在区间
上的平均值；

参考答案：解 f(x)在区间
上的平均值

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，其中
．

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