问答题X 纠错已知曲线L的方程为

求此切线与L(对应于x≤x 0 的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．

参考答案：解 由y=0时t=0，t=4知L与x轴的交点分别为(1，0)和(17，0)．故所求平面图形的面积为

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问答题已知曲线L的方程为

过点(-1，0)引L的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；

参考答案：解 因为当t=0时，L在对应点处的切线方程为x=1，不合题意，故设切点(x0，y0)对应的参数为t0＞0，则L在(x0，...
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问答题已知曲线L的方程为

讨论L的凹凸性；

参考答案：解 由于


当t＞0时，
，故L是凸的．
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问答题曲线
与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．

计算极限

参考答案：解
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问答题曲线
与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．

求
的值；

参考答案：解

所以
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问答题设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．

已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．

参考答案：解 曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为


曲线y=f(x)的参数方程为


故


令
，则

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问答题设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．

求曲线y=f(x)的方程：

参考答案：解 曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为 其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X=0，则 故Q点坐标为...
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问答题

求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．

参考答案：解 原方程可化为 这是一阶线性非齐次微分方程，故直接套用公式得 由曲线y=x+Cx2，直线x=1，x=2以及x轴所围...
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问答题

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足xf"(x)=f(x)+
(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

参考答案：解 由题设知，当x≠0时，，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得 又由已知条件得 即C=4-a， 因此 旋转体的...
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问答题

设有曲线
，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

参考答案：解 设切点的横坐标为x0，则切点，曲线在此点的切线斜率为，于是切线方程为 又因它经过原点，以点(0，0)代入，得-2(...
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问答题

设ρ=ρ(x)是抛物线
上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算
的值．(在直角坐标系下曲率公式为
)

参考答案：解

所以抛物线在点M(x，y)处的曲率半径


抛物线上
的弧长


由参数方程求导公式得


从而

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