答：小孩子嘴巴周围发青且睡眠时呼吸困难的原因可能是呼吸道感染、先天性心脏病、腺样体肥大等。

1. 呼吸道感染：上呼吸道感染、肺炎等感染性疾病可能导致小儿出现嘴巴周围发青、呼吸急促、呼吸困难等症状。

2. 先天性心脏病：某些类型的先天性心脏病，如法洛四联症、大动脉转位等，可导致患儿出现嘴巴周围发青、呼吸急促、呼吸困难、生长发育缓慢等症状。

3. 腺样体肥大：腺样体肥大是一种常见的小儿疾病，可导致鼻塞、流涕、打鼾、张口呼吸等症状，严重时可出现呼吸暂停、缺氧等情况，从而导致嘴巴周围发青。

导致小孩嘴巴周围发青且睡眠时呼吸困难的原因较多，建议及时就诊，以明确病因，尽早治疗。

*重要提示：科普内容不能作为疾病治疗依据，如有不适请前往正规医院就诊。