设T是Banach空间X到賦范线性空间F中的线性算子，令
M_n={x|‖Tx‖≤n‖x‖}，n=1，2，...，
证明：总有M_n0在X中稠密。

设X是线性空问，||x||₁和||X||₂是X上两个范数，若X按||x||₁及||x||₂都完备，并且由点列{x_n}按||x||₁收敛于0，必有按||x||₂也收敛于0，证明存在证书a和b,使
a||x||₁≤||x||₂≤b||x||₁

证明：ι^p中点列x_n={ξ₁^（n）,ξ₂^（n）,...},n=1，2,...，弱收敛于x={ξ₁,ξ₂,...}∈ι^p的充要条件为＜∞，且对每个k,=ξ_k

证明：空间C[a,b]中点列{x_n}弱收敛于x₀的充要条件是存在常数M，使得||x_n||≤M,n=1,2,...,并且对任何t∈[a,b]，成立=x₀(t)

设T_n∈（X，Y）（n=1，2，...），其中X是Banach空间，Y是赋范线性空间，若对每个x∈X，{T_nx}都收敛，令Tx=，证明T是X到Y中有界线性算子，并且||T||＜

证明格尔丰德引理：设X是Banach空间，p（x）是X上泛函，满足条件：
1.p（x）≥0
2.a≥0时，p（ax）=ap（x）
3.p（x₁+x₂）≦p（ax）=ap（x）
4.当x∈X，x_nx→x时，≥p（x），证明必有M>0，使对一切x∈X，成立p（x）≦M||x||

设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p≥1，若对一切g∈L^p[a,b],函数f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则f∈L^q[a,b],其中