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问答题
求极限
求极限
答案：
正确答案：
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因为∫
0
1
(1-u)sinxudu=
sinx， ∫
1
2
(u-1)sinxudu=
所以原式
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，
=1，f(1)=0．证明：(1)存在η∈
，使得f(η)=η；(2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．
答案：
正确答案：(1)令φ(x)=f(x)=x，φ(x)在[0，1]上连续，
，φ(1)=-1＜0， 由零点定理，存...
，φ(1)=-1＜0， 由零点定理，存...
问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’
+
(a)f’
-
(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，6])，g’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’
+
(a)f’
-
(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，6])，g’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
答案：
正确答案：设f’+(a)＞0，f’-(b)＞0， 由f’+
问答题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥2)．
(1)证明方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
；
(2)求
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥2)．
(1)证明方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
；
(2)求
x
n
.
答案：
正确答案：(1)令φn(x)=f(x)-1，因为φn(0)=-1＜0，φ
d(x
2
lnx)=ln｜x
2
lnx｜+C．
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，∫ 0 1 f(x)dx=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫ 0 ξ (x)dx=ξf(ξ)．
答案：
正确答案：令
，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)...
，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
∫
a
b
f(x)dx｜+∫
a
b
｜f’(x)｜dx．
答案：
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜=
｜f(x)｜．...
｜f(x)｜．...
问答题
设
设
(1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续(2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微
答案：
正确答案：(1)因为0≤｜f(x，y)｜≤
f(x，y)=0=f(0，0)，故f(x，y)在点(0．0)处连续...
f(x，y)=0=f(0，0)，故f(x，y)在点(0．0)处连续...
，2(x
2
+y
2
)}dxdy．
=2(x
2
+y
2
)，解得x
2
+y
2
=
， 则
，2(x
2
+y
2
)}dxdy
问答题
一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间
答案：
正确答案：设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段...
=e
coty
，求f(x，y)．
问答题
设A从原点出发，以固定速度v 0 沿y轴正向行驶，B从(x 0 ，0)}出发(x 0 ＜0)，以始终指向点A的固定速度v 1 朝A追去，求B的轨迹方程．
答案：
正确答案：设t时刻B点的位置为M(x，y)，则
，即
x
=y-v0...
，即
x
=y-v0...
