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问答题
设生产函数和成本函数分别为
设生产函数和成本函数分别为
当成本预算为S时，两种要素投入量x和y为多少时，产量Q最大，并求最大产量．
答案：
【解】令F(x，y，λ)=ln(lxαyβ)+λ(S-ax-by)=lnl+...
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其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求
问答题
设函数z=f(u)，方程
设函数z=f(u)，方程
确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ"(u)连续，且φ"(u)≠1．求
答案：
【解】由z=f(u)，可得
在方程
两边分别对x，y求偏导数，得
由此得
于是
在方程
两边分别对x，y求偏导数，得
由此得
于是
问答题
设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程e
xy
-y=0和e
z
-xz=0所确定，求
设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程e
xy
-y=0和e
z
-xz=0所确定，求
答案：
【解】
方程e xy -y=0两边关于x求导，有
方程e z -xz=0两边关于x求导，有
于是
方程e xy -y=0两边关于x求导，有
方程e z -xz=0两边关于x求导，有
于是
满足等式
验证
求常数a，使
中并整理得
问答题
设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且
设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且
满足等式
若f(1)=0，f"(1)=1，求函数f(u)的表达式．
答案：
【解】解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解．
在方程
中，令f"(u)=g(u)，则f"(u)=g...
在方程
中，令f"(u)=g(u)，则f"(u)=g...
问答题
已知函数u=u(x，y)满足方程
已知函数u=u(x，y)满足方程
试选择参数a，b，利用变换u(x，y)=v(x，y)e
ax+by
将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．
答案：
【解】等式U(x，y)=V(x，y)eax+by两边同时求偏导数，
问答题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
答案：
【解】利润函数为
由
解得
函数z=f(x1，x
由
解得
函数z=f(x1，x
问答题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略．
答案：
【解】若广告费用为1.5万元，则需求利润函数z=f(x1，x2)在x
问答题
求二元函数z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
答案：
【解】由方程组
得x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D...
得x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D...
问答题
求f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．
答案：
【解】这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy-x2-y2在...
问答题
设f(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：由方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是
设f(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：由方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是
且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中
答案：
【证】本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小．
y=φ(x)...
y=φ(x)...
的长方体的最大体积．
上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大．
问答题
厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p
1
和p
2
，销售量分别为q
1
和q
2
，需求函数分别为q
1
=24-0.2p
1
和q
2
=10-0.05p
2
，总成本函数为C=35+40(q
1
+q
2
)．
厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p
1
和p
2
，销售量分别为q
1
和q
2
，需求函数分别为q
1
=24-0.2p
1
和q
2
=10-0.05p
2
，总成本函数为C=35+40(q
1
+q
2
)．
试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大最大总利润为多少
答案：
【解】总收入函数为
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
解此...
总利润函数为
由极值的必要条件，得方程组
解此...
问答题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
答案：
【解】作拉格朗日函数
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y
问答题
设
设
(1)
(2)
讨论它们在点(0，0)处的
①偏导数的存在性；
②函数的连续性；
③方向导数的存在性；
④函数的可微性．
答案：
【解】(1)①按定义易知
②
(当(x，y)→(0，0))，所以f(x，y)在点(0，0...
②
(当(x，y)→(0，0))，所以f(x，y)在点(0，0...
问答题
设A，B，C为常数，B
2
-AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数．试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ
1
x+y，η=λ
2
x+y (λ
1
，λ
2
为常数)，将方程
设A，B，C为常数，B
2
-AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数．试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ
1
x+y，η=λ
2
x+y (λ
1
，λ
2
为常数)，将方程
答案：
【证】
代入所给方程，将该方程化为
由于B2
代入所给方程，将该方程化为
由于B2
常数
．试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值是极大值还是极小值
问答题
求函数f(x，y)=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在区域D={(x，y)|x 2 +y 2 ≤4，y≥0}上的最大值与最小值．
答案：
【解】先求f(x，y)在D的内部的驻点．由
解得x=0或y=±1；
或y=0．经配对之后，位于区域D...
解得x=0或y=±1；
或y=0．经配对之后，位于区域D...
且满足
求u的表达式，其中
问答题
证明：f(x，y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件
证明：f(x，y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件
下有最大值和最小值，且它们是方程k
2
-(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC-B
2
)a
2
b
2
=0的根．
答案：
【证】因为f(x，y)在全平面连续，
为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．
...
为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．
...
问答题
设生产某种产品必须投入两种要素，x
1
和x
2
分别为两要素的投入量，Q为产出量．如果生产函数为
设生产某种产品必须投入两种要素，x
1
和x
2
分别为两要素的投入量，Q为产出量．如果生产函数为
其中α，β为正常数，且α+β=1．假设两种要素价格分别为p
1
，p
2
．试问产出量为12时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小
答案：
【解】费用c=p
1
x
1
+p
2
x
2
，条件：
构造拉格朗日函数：
于是，有
解得
构造拉格朗日函数：
于是，有
解得
问答题
设生产函数和成本函数分别为
设生产函数和成本函数分别为
当成本预算为S时，两种要素投入量x和y为多少时，产量Q最大，并求最大产量．
答案：
【解】令F(x，y，λ)=ln(lxαyβ)+λ(S-ax-by)=lnl+...
