问答题

设二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一2x 1 x 2 —2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形2y 1 2 +2y 2 2 +by 3 2 。求f在x T x=3下的最大值。

答案: 正确答案:二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为2y12...
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问答题

已知二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(1—a)x 1 2 +(1—a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为2。求a的值;

答案: 正确答案:二次型矩阵A=
。二次型的秩为2,则二次型矩阵A的秩也为2, 从而 |A|=
=一8a=0, 因此a=0。
问答题

二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一2x 1 x 2 +6x 1 x 3 —6x 2 x 3 的秩为2。求参数c及此二次型对应矩阵的特征值;

答案: 正确答案:二次型对应的矩阵为
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已知二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(1—a)x 1 2 +(1—a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为2。求正交变换x=Qy,把f(x 1 ,x 2 ,x 3 )化为标准形;

答案: 正确答案:由上问中结论a=0,则A=
,由特征多项式 |λE—A|=
=(λ一2)[(λ一1)
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求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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已知A=
,二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T (A T A)x的秩为2。求实数a的值;

答案: 正确答案:A T A=
,由r(A T A)=2可得 |A T A|=
=(a+1) 2 (a 2 +3)=0, 所以a=一1。
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合同。

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已知A=
,二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T (A T A)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

答案: 正确答案:由上问中结果,令矩阵B=
, |λE—B|=
=λ(λ一2)(λ一6)=0, 解得矩阵B的...
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设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。利用上问的结果判断矩阵B一C T A -1 C是否为正定矩阵,并证明结论。

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用正交变换将二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 一2x 2 2 一2x 3 2 一4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +8x 2 x 3 化为标准形,并给出所施行的正交变换。

答案: 正确答案:二次型的矩阵为A=
,特征多项式为 |λE一A|=
=(λ一2)2(...
问答题

设二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一2x 1 x 2 —2x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换化为标准形2y 1 2 +2y 2 2 +by 3 2 。求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;

答案: 正确答案:二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2,2,b。由矩阵A的迹tr(A)...
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设二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3 —4x 2 x 3 。写出二次型的矩阵表达式;

答案: 正确答案:二次型的矩阵为
则二次型的矩阵表达式为f=x T Ax。
问答题

设二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=3x 1 2 +3x 2 2 +5x 3 2 +4x 1 x 3 —4x 2 x 3 。求正交矩阵P,作变换x=Py将二次型化为标准形。

答案: 正确答案:矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=
=(λ—1)(λ一3)(λ一7), 矩阵A的特征值为λ
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