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问答题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。求f在x
T
x=3下的最大值。
答案:
正确答案:二次型f=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为2y
1
2...
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问答题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。求a的值;
答案:
正确答案:二次型矩阵A=
。二次型的秩为2,则二次型矩阵A的秩也为2, 从而 |A|=
=一8a=0, 因此a=0。
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问答题
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
一2x
1
x
2
+6x
1
x
3
—6x
2
x
3
的秩为2。求参数c及此二次型对应矩阵的特征值;
答案:
正确答案:二次型对应的矩阵为
由二次型的秩为2,可得|A|=0,由此解得c=3,容易验证,此时A的秩为2。 又...
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问答题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形;
答案:
正确答案:由上问中结论a=0,则A=
,由特征多项式 |λE—A|=
=(λ一2)[(λ一1)
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问答题
已知三元二次型f=x
T
Ax的秩为2,且
求此二次型的表达式,并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
答案:
正确答案:二次型x
T
Ax的秩为2,即r(A)=2,所以λ=0是A的特征值。
所以3是A的...
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问答题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解。
答案:
正确答案:由f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
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问答题
已知A=
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2。求实数a的值;
答案:
正确答案:A
T
A=
,由r(A
T
A)=2可得 |A
T
A|=
=(a+1)
2
(a
2
+3)=0, 所以a=一1。
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问答题
设方阵A
1
与B
1
合同,A
2
与B
2
合同,证明:
合同。
答案:
正确答案:因为A
1
与B
1
合同,所以存在可逆矩C
1
,使得...
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问答题
已知A=
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。
答案:
正确答案:由上问中结果,令矩阵B=
, |λE—B|=
=λ(λ一2)(λ一6)=0, 解得矩阵B的...
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问答题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。计算P
T
DP,其中P=
。
答案:
正确答案:因为
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问答题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。利用上问的结果判断矩阵B一C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明结论。
答案:
正确答案:由上问中结果知矩阵D与矩阵M=
合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,...
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问答题
用正交变换将二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
一2x
2
2
一2x
3
2
一4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+8x
2
x
3
化为标准形,并给出所施行的正交变换。
答案:
正确答案:二次型的矩阵为A=
,特征多项式为 |λE一A|=
=(λ一2)
2
(...
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问答题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
答案:
正确答案:二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2,2,b。由矩阵A的迹tr(A)...
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问答题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。求f在x
T
x=3下的最大值。
答案:
正确答案:二次型f=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为2y
1
2...
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问答题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
1
2
+3x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
3
—4x
2
x
3
。写出二次型的矩阵表达式;
答案:
正确答案:二次型的矩阵为
则二次型的矩阵表达式为f=x
T
Ax。
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问答题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
1
2
+3x
2
2
+5x
3
2
+4x
1
x
3
—4x
2
x
3
。求正交矩阵P,作变换x=Py将二次型化为标准形。
答案:
正确答案:矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=
=(λ—1)(λ一3)(λ一7), 矩阵A的特征值为λ
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