问答题

设A为n阶矩阵，证明：r(A ^* )＝
，其中n≥2．

答案：正确答案：AA^*＝A^*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A...

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设A＝(a _ij ) _n×m 是非零矩阵，且｜A｜中每个元素a _ij 与其代数余子式A _ij 相等．证明：｜A｜≠0．

答案：正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜＝a_k1A

设A＝E－αα ^T ，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A ² ＝A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

答案：正确答案：(1)令α^Tα＝k，则A²＝(E－α^Tα)(...

设A为n阶矩阵，证明：r(A ^* )＝
，其中n≥2．

答案：正确答案：AA^*＝A^*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A...

设向量组(Ⅰ)α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ；(Ⅱ)α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ； (Ⅲ)α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₅ ，若向量组(I)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₅ －α ₄ 的秩为4．

答案：正确答案：因为向量组(I)的秩为3，所以α₁，α₂，α₃

设A为n阶矩阵，若A ^k＋1 ≠0，而A ^k α＝0．证明：向量组α，Aα，…，A ^k－1 α线性无关．

答案：正确答案：令l₀α＋l₁Aα＋…＋l_k－1A^...

a，b取何值时，方程组
有解

答案：正确答案：
(1)s≠1时，r(A)＝
＝4，唯一解为x₁＝
，x<...

证明线性方程组
(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组
(Ⅲ)是同解方程组．

答案：正确答案：令A＝
，方程组(I)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A^TY＝...

证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．

答案：正确答案：令r(B)＝r，BX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，因为BX＝0的解一定是ABX＝0的解，所以A...

当a,b取何值时，方程组
无解、有唯一解、有无数个解在有无数个解时求其通解．

答案：正确答案：
(1)当a≠－1且a≠6时，方程组有唯一解； (2)当a＝6时，
当a＝－1，b≠36时...

设A＝
方程组AX＝B有解但不唯一． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P ^－1 AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得Q ^T AQ为对角阵．

答案：正确答案：(1)因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1．当a＝－2时，
＝2＜...

设A＝
的一个特征值为λ ₁ ＝2，其对应的特征向量为ξ ₁ ＝
(1)求常数a，b，c； (2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P ^－1 AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

答案：正确答案：(1)由Aξ₁＝2ξ₁，得
(2)由｜λE－A｜＝

设A＝
有三个线性无关的特征向量，求a及A ⁿ ．

答案：正确答案：由｜λE－A｜＝
＝0，得λ₁＝λ₂＝1，λ_3...

设A是n阶矩阵，α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 是n维列向量，且α _n ≠0，若 Aα ₁ ＝α ₂ ，Aα ₂ ＝α ₃ ，…，Aα _n－1 ＝α _n ，Aα _n ＝0． (1)证明：α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

答案：正确答案：(1)令x₁α₁＋x₂α₂

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P ^T AP为正定矩阵．

答案：正确答案：首先A^T＝A，因为(P^TAP)^T＝P

设齐次线性方程组
，有非零解，且A＝
为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝
时X ^T AX的最大值．

答案：正确答案：因为方程组有非零解，所以
＝a(a＋1)(a－3)＝0，即a＝－1或 a＝0或a＝3．因为A是正定矩...