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问答题
利用变换x=arctant将方程
利用变换x=arctant将方程
化为y关于t的方程，并求原方程的通解．
答案：
解
代入整理得
．
的特征方程为λ2+2λ...
代入整理得
．
的特征方程为λ2+2λ...
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问答题
设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有|f"(x)|≤g＜1，令u
n
=f(u
n-1
)(n=1，2，…)，u
0
∈[a，b]，证明：级数
设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有|f"(x)|≤g＜1，令u
n
=f(u
n-1
)(n=1，2，…)，u
0
∈[a，b]，证明：级数
绝对收敛．
答案：
证明 由|un+1-un|=|f(un)-f(u
．证明：
收敛，而
发散．
问答题
设y=y(x)满足y"=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数
设y=y(x)满足y"=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数
的敛散性．
答案：
解 由y"=x+y得y"=1+y"，再由y(0)=1得y"(0)=1，y"(0)=2，根据麦克劳林公式，有
<...
<...
．证明：级数
绝对收敛．
的收敛区间．
问答题
求函数f(x)=ln(1-x-2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．
答案：
解 f(x)=ln(1-x-2x
2
)=ln(x+1)(1-2x)=ln(1+x)+ln(1-2x)，
因为
所以
因为
所以
的和函数．
的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(-∞，+∞)．
，
的和函数．
，得收敛半径R=+∞，该幂级数的收敛区间为(-∞，+∞)，
，
的和．
显然其收敛域为(-1，1)，
的解．求F(x)关于x的幂级数；
，解得
，所以C=-1，于是
展开成x的幂级数．
问答题
设
设
，且a
0
=1，a
n+1
=a
n
+n(n=0，1，2，…)．求f(x)满足的微分方程；
答案：
解
则f(x)满足的微分方程为f"(x)-f(x)=xe x ，
因为a 0 =1，所以f(0)=1，从而C=1，于是
．
则f(x)满足的微分方程为f"(x)-f(x)=xe x ，
因为a 0 =1，所以f(0)=1，从而C=1，于是
．
的解．求
的和．
．
满足微分方程y
(4)
-y=0并求和函数S(x)．
，且a
0
=1，a
n+1
=a
n
+n(n=0，1，2，…)．求
存在．证明：当q＞1时级数
收敛，当q＜1时级数
发散．
收敛，且
绝对收敛．证明：
绝对收敛．
问答题
设
设
，对任意的参数λ，讨论级数
的敛散性，并证明你的结论.
答案：
解 由
得
，即
，所以
(1)当λ＞0时，因为级数
收敛，所以级数
收敛；
(2)当λ≤0时，因为级数
发散，所以级数
发散．
得
，即
，所以
(1)当λ＞0时，因为级数
收敛，所以级数
收敛；
(2)当λ≤0时，因为级数
发散，所以级数
发散．
证明：
，等式成立；
证明：
绝对收敛．
问答题
设a
0
=1，a
1
=-2，
设a
0
=1，a
1
=-2，
．证明：当|x|＜1时，幂级数
收敛，并求其和函数S(x)．
答案：
证明 由
，得幂级数的收敛半径R=1，所以当|x|＜1时，幂级数
收敛．由
，得
，所以
，得幂级数的收敛半径R=1，所以当|x|＜1时，幂级数
收敛．由
，得
，所以
的解，其中a＞0；
，
．
．
．
问答题
设有微分方程y"-2y=φ(x)，其中
设有微分方程y"-2y=φ(x)，其中
在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．
答案：
解 当x＜1时，y"-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C...
问答题
设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
答案：
解 令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f"(x)+x2y，因为[xy(x+...
，求f(x)．
问答题
设二阶常系数线性微分方程y"+ay"+by=ce x 有特解y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
答案：
解 将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得
(4+2a+b)e<...
(4+2a+b)e<...
