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问答题

设f(x)在(a，b)四次可导，且存在x 0 ∈(a，b)使得f"(x 0 )=f"’(x 0 )=0，又设当a＜x＜b时f (4) (x)＞0，求证f(x)的图形在(a，b)是凹的．

答案： 正确答案：由当x∈(a，b)时f(4)(x)＞0，知f"’(x)在(a，b)单调增加． 又因f"’...
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问答题

求下列函数的导数与微分：
答案： 正确答案：
(Ⅲ)这是求连乘积的导数，用对数求导法方便．因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得
若只...
问答题

设y=
及φ"(1)．
答案： 正确答案：由变限积分求导法先求得
，最后由复合函数求导法得
问答题

设f(x)=
(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导
答案： 正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=<...
问答题

求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx—cos(x一y)=0，求dy； (Ⅱ)设由方程
确定y=y(x)，求y’与y"．
答案： 正确答案：(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)一dcos(x一y)=0， 即 sinxdy+ycosxdx...
问答题

设g(x)=
且f(x)处处可导，求f[g(x)]的导数．
答案： 正确答案：若已求得g’(x)，则由复合函数求导法得
f[g(x)]=f’[g(x)]g’(x)．故只需求g’(x)．
问答题

设f(x)在(一∞，+∞)有一阶连续导数，且f(0)=0并存在f"(0)．若
求F’(x)，并证明F’(x)在(一∞，+00)上连续．
答案： 正确答案：首先求F’(x)．当x≠0时，由求导法则易求F’(x)，而F’(0)需按定义计算．
然后讨论F’(x...
问答题

设y=xcosx，求y (n) ．
答案： 正确答案：逐一求导，得 y’=cosx+x(cosx)’，y"=2(cosx)’+x(cosx)"，y"’=y...
问答题

设y=ln(3+7x一6x 2 )，求y (n) ．
答案： 正确答案：先分解 y=ln(3—2x)(1+3x)=ln(3—2x)+ln(1+3x) → y(n)
问答题

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于
x 1 ，x 2 ∈[0，1]，有 ｜f(x 1 )一f(x 2 )｜＜
．
答案： 正确答案：联系f(x1)—f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设...
问答题

设a＞e，0＜x＜y＜
，求证a y —a x ＞(cosx—cosy)a x lna．
答案： 正确答案：令f(t)=at，g(t)=cost，在区间[x，y]上应用柯西中值定理，即知存在满足0...
问答题

证明：当x＞1时，0＜lnx+
(x一1) 3 ．
答案： 正确答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+
一2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时
从而...
问答题

求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2 成立．
答案： 正确答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，则有f(x)在[0，...
问答题

求证：当x∈(0，1)时，
答案： 正确答案：
故g(x)在(0，1)内单调下降．又g(x)在(0，1]连续，且g(1)=
—1，g(x...
问答题

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证： [∫ 0 1 f(x)dx] 2 ＞∫ 0 1 f 3 (x)dx．
答案： 正确答案：即证[∫01f(x)dx]2一∫0...
问答题

设p，g是大于1的常数，且
≥x．
答案： 正确答案：令f(x)=
一x，则f’(x)=xp—1—1．令f’(x)=0，得唯一驻点x...
问答题

设0＜x＜1，求证：x n (1一x)＜
，其中n为自然数．
答案： 正确答案：令f(x)=nxn(1一x)(x∈[0，1])，则 f’(x)=n[nxn—1...
问答题

设f(x)在(a，b)内二阶可导，且a＜x 1 ＜x 2 ＜b． (Ⅰ)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 f(x)＜
(x 2 ) (2．17) 对任何x∈(x 1 ，x 2 )成立； (Ⅱ)若x∈(a，b)时f"(x)＜0，则 f(x)＞
(x 2 ) (2．18) 对任何x∈(x 1 ，x 2 )成立．
答案： 正确答案：因(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．把(2．17)式改写成下面的等价不等式，有 (x2
问答题

证明：当0＜x＜
．
答案： 正确答案：在区间
=0，F"(x)=一sinx＜0当x∈(0，
]上F(x)的图形上凸．由此即得当
时成立．
问答题

设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证： ∫ 0 a f(x)dx+∫ 0 b g(x)dx=ab， 其中g(x)是f(x)的反函数．
答案： 正确答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0
问答题

设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对
x(a≤x≤b)满足 f"(x)+g(x)f’(x)一f(x)=0．求证：当x∈[a，b]时f(x)≡0．
答案： 正确答案：若f(x)在[a，b]不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 无妨设f(x0
问答题

设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f"(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=
(x＞a)．证明：F(x)在(a，+∞)内单调增加．
答案： 正确答案：证明F’(x)＞0(x＞0)．由题设条件，有
由拉格朗日中值定理知，存在ξ(0＜ξ＜x)使得
问答题

设f(x)在(a，b)四次可导，且存在x 0 ∈(a，b)使得f"(x 0 )=f"’(x 0 )=0，又设当a＜x＜b时f (4) (x)＞0，求证f(x)的图形在(a，b)是凹的．
答案： 正确答案：由当x∈(a，b)时f(4)(x)＞0，知f"’(x)在(a，b)单调增加． 又因f"’...
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