问答题

设有3维列向量

问λ取何值时：β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示，且表达式不唯一

答案： λ=0．

你可能感兴趣的试题

设有3维列向量

问λ取何值时：β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示，且表达式唯一

答案： λ≠0且λ≠-3．

设有3维列向量

问λ取何值时：β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示，且表达式不唯一

答案： λ=0．

已知α ₁ =(1，4，0，2) ^T ，α ₂ =(2，7，1，3) ^T ，α ₃ =(0，1，-1，α) ^T ，β=(3，10，b，4)T，问：a，b取何值时，β不能由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出

答案： b≠2．

设有3维列向量

问λ取何值时：β不能有α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示

答案： λ=-3．

已知α ₁ =(1，4，0，2) ^T ，α ₂ =(2，7，1，3) ^T ，α ₃ =(0，1，-1，α) ^T ，β=(3，10，b，4)T，问：a，b取何值时，β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出并写出此表示式．

答案： b=2，a≠1时，有唯一表示式：β=-α₁+2α₂+0α₃

已知向量组
与向量组
具有相同的秩，且β ₃ 可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示，求a，b的值．

答案： a=15，b=5．

设向量组α ₁ =(α，2，10) ^T ，α ₂ =(-2，1，5)T，α ₃ =(-1，1，4) ^T ，β=(1，b,c) ^T 。试问：当a，b，c满足什么条件时，β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表现出来，且表示唯一

答案： a≠4．

设向量组α ₁ =(α，2，10) ^T ，α ₂ =(-2，1，5)T，α ₃ =(-1，1，4) ^T ，β=(1，b,c) ^T 。试问：当a，b，c满足什么条件时，β不能由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出

答案： a=-4．

设有向量组(Ⅰ)：α ₁ =(1，0，2) ^T ，α ₂ =(1，1，3) ^T ，α ₃ =(1，-1，a+2) ^T 和向量组(Ⅱ)：
β=(1，2，a+3) ^T ，β ₂ =(2，1，a+6) ^T ，β ₃ =(2，1，a+4) ^T ．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价

答案：当a≠-1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价；当a=-1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．

设向量组α ₁ =(α，2，10) ^T ，α ₂ =(-2，1，5)T，α ₃ =(-1，1，4) ^T ，β=(1，b,c) ^T 。试问：当a，b，c满足什么条件时，β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出，但表示不唯一并求出一般表达式．

答案： a=-4且3b-c=1，β=tα ₁ -(2t+b+1)α ₂ +(2b+1)α ₃ ．

设α ₁ =(1，2，0) ^T ，α ₂ =(1，a+2，-3a) ^T ，α ₃ =(-1，-b-2，a+2b) ^T ，β=(1，3，-3) ^T ，试讨论当a，b为何值时，β不能由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示

答案： a=0，b任意．

设α ₁ =(1，2，0) ^T ，α ₂ =(1，a+2，-3a) ^T ，α ₃ =(-1，-b-2，a+2b) ^T ，β=(1，3，-3) ^T ，试讨论当a，b为何值时，β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 唯一地线性表示

答案： a≠0，a≠b．

设α ₁ =(1，2，0) ^T ，α ₂ =(1，a+2，-3a) ^T ，α ₃ =(-1，-b-2，a+2b) ^T ，β=(1，3，-3) ^T ，试讨论当a，b为何值时，β可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表示，但表示式不唯一

答案： a=b≠0．

设α ₁ =(1，1，1)，α ₂ =(1，2，3)，α ₃ =(1，3，t)．问当t为何值时，向量组α ₁ ，α ₂ ，α ₂ 线性无关

答案： t≠5．

设α ₁ =(1，1，1)，α ₂ =(1，2，3)，α ₃ =(1，3，t)．问当t为何值时，向量组α ₁ ，α ₂ ，α ₂ 线性相关

答案： t=5．

设向量组
α ₁ =(1，1，1，3) ^T ，α ₂ =(-1，-3，5，1) ^T ，α ₃ (3，2，-1，p+2) ^T ，α ₄ =(-2，-6，10，p) ^T ．p为何值时，该向量组线性无关并在此时将向量α=(4，1，6，10) ^T 用α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性表出；

答案： P≠2．

设α ₁ =(1，1，1)，α ₂ =(1，2，3)，α ₃ =(1，3，t)．当α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性相关时，将α ₃ 表示为α ₁ 和α ₂ 的线性组合．

答案： α ₃ =-α ₁ +2α ₂ ．

设4维向量组α ₁ =(1+a，1，1，1) ^T ，α ₂ =(2，2+a，2，2) ^T ，α ₃ =(3，3，3+a，3) ^T ，α ₄ =(4，4，4，4+a) ^T ，问a为何值时α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性相关当α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．

答案：当a=0时，显然α₁是一个极大线性无关组，且α₂=2α₁

设向量组
α ₁ =(1，1，1，3) ^T ，α ₂ =(-1，-3，5，1) ^T ，α ₃ (3，2，-1，p+2) ^T ，α ₄ =(-2，-6，10，p) ^T ．p为何值时，该向量组线性相关并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

答案： p=2，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ (或α ₁ ，α ₃ ，α ₄ )为极大线性无关组．

解线性方程组

．

答案： (3，-8，0，6) ^T +k(-1，2，1，0) ^T ．

已知线性方程组

问k ₁ 和k ₂ 各取何值时，方程组无解有唯一解有无穷多解在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解．

答案： k₁≠2时，有唯一解；k₁=2，k₂≠1时，无解；

已知线性方程组

a，b为何值时，方程组有解

答案： a=1，b=3．

已知线性方程组

方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系．

答案： η ₁ =(1，-2，1，0，0) ^T ，η ₂ =(1，-2，0，1，0) ^T ，η ₃ (5，-6，0，0，1) ^T ．

k为何值时，线性方程组

有唯一解、无解、有无穷多组解在有解的情况下，求出其全部解．

答案： k≠-1且k≠4有唯一解；k=-1时无解；k=4时有无穷多解．

已知线性方程组

方程组有解时，求出方程组的全部解．

答案： (-2，3，0，0，0) ^T +k ₁ η ₁ +k ₂ η ₂ +k ₃ η ₃ ．

设线性方程组

．设a ₁ =a ₃ =k，a ₂ =a ₃ =-k(k≠0)，且已知β ₁ ，β ₂ 是该方程组的两个解，其中β ₁ =(-1，1，1) ^T ，β ₂ =(1，1，-1) ^T ．写出此方程组的通解．

答案： β ₁ +k(-2，0，2) ^T ．

对于线性方程组

讨论λ为何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解．在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解．

答案：当λ≠1且λ≠-2时，方程组有唯一解；当λ=-2时，方程组无解；
当λ=1时，方程组有无穷多组解：(-2，0，...

已知线性方程组

讨论参数p，t取何值时，方程组有解、无解．当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．

答案：当t≠2时，方程组无解；当t=2时，方程组有解，进一步，若P≠_8，则通解为(-1，1，0，0)^T...

λ取何值时，方程组

无解、有唯一解或有无穷多组解并在有无穷多组解时写出方程组的通解．

答案：当

时，方程组无解；当

且λ≠1时，方程组有唯一解；
当λ=1时，方程组有无穷多解(1，-1，0) ^T +k(0，1，1) ^T ．

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)：

．

．求解方程组(Ⅰ)，用其导出组的基础解系表示通解．

答案： (-2，-4，-5，0) ^T +k(1，1，2，1) ^T ．

已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)：

．

．当方程组中的参数m，n，t为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解

答案： m=2，n=4，t=6．

设
，A=αβ ^T ，B=β ^T α，其中β ^T 、是β的转置，求解方程2B ² A ² x=A ⁴ x+B ⁴ x+γ．

答案：

．

设线性方程组

已知(1，-1，1，-1) ^T 是该方程组的一个解，试求：方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；

答案：当

时，方程组的全部解为

．
当

时，全部解为

．

设线性方程组

已知(1，-1，1，-1) ^T 是该方程组的一个解，试求：该方程组满足x ₂ -x ₃ 的全部解．

答案：当

时，方程组的解为(-1，0，0，1) ^T ；
当

时，全部解为

．

已知3阶矩阵B≠0，且B的每一列向量都是以下方程组的解

．

答案： λ=1．

已知3阶矩阵B≠0，且B的每一列向量都是以下方程组的解

．证明|B|=0

答案：用反证法．

已知α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β ₁ =α ₁ +tα ₂ ，β ₂ =α ₂ +tα ₃ ，β ₃ =α ₃ +tα ₄ ，β ₄ =α ₄ +tα ₁ ，讨论实数t满足什么关系时，β ₁ ，β ₂ ，β ₃ ，β ₄ 也是Ax=0的一个基础解系．

答案： t≠±1．

设齐次线性方程组

其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

答案：当a≠b且a≠(1-n)b时，方程组只有零解；当a=b时，通解为k₁(-1，1，0，…，0)

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为

而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α ₁ =(2，-1，α+2，1) ^T ，α ₂ =(-1，2，4，α+8) ^T ．求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；

β₁=(5，-3，1，0)^T，β₂=(-3，2，0，1)^T．

答案： β ₁ =(5，-3，1，0) ^T ，β ₂ =(-3，2，0，1) ^T ．

设4元齐次线性方程组(Ⅰ)为

而已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α ₁ =(2，-1，α+2，1) ^T ，α ₂ =(-1，2，4，α+8) ^T ．当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

答案： a=-1，k ₁ (2，-1，1，1) ^T +k2(-1，2，4，7) ^T ．

已知齐次线性方程组

其中
。试讨论a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 和b满足何种关系时，方程组仅有零解；

答案：当b≠0且

时，方程组仅有零解．

已知齐次线性方程组

其中
。试讨论a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 和b满足何种关系时，方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

答案：当b=0时，基础解系为
当

时，有b≠0，基础解系为α=(1，1，…，1) ^T ．

设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

答案：当a=0时，基础解系为η₁=(-1，1，0，0)^T，η₂