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问答题
设a，b，c为实数，求证：曲线y=e x 与y=ax 2 +bx+c的交点不超过三个．
答案：
正确答案：令f(c)=ex一ax2—bx—c，那么问题等价于证明f(x)的零...
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问答题
设f(x)在(一∞，a)内可导，
设f(x)在(一∞，a)内可导，
=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．
答案：
正确答案：由极限的不等式性质，
δ＞0，当x∈[a一δ，a)时
＞0，即f(x)＜0，也就有f(a一...
δ＞0，当x∈[a一δ，a)时
＞0，即f(x)＜0，也就有f(a一...
问答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f’ + (a)与f’ — (b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．
答案：
正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b—δ，且
于是 f(a+b)＞f(a)，f(b一...
于是 f(a+b)＞f(a)，f(b一...
问答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f’ + (a)＞0，f’ — (b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f’(x)在(a，b)至少有两个零点．
答案：
正确答案：f(x)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，...
问答题
设f(x)在(a，b)内可导，且
设f(x)在(a，b)内可导，且
f(x)=A．求证：存在ξ∈(a，b)使得 f’(ξ)=0．
答案：
正确答案：设g(x)=
则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于...
则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于...
问答题
设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F"’(c)=0．
答案：
正确答案：由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，则
ξ1∈(0，1)，F...
ξ1∈(0，1)，F...
问答题
设f(x)=
设f(x)=
(a
k
coskx+b
k
sinkx)，其中a
k
，b
k
(k=1，2，…，n)为常数．证明：
(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；
(Ⅱ)f
(m)
(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点．
答案：
正确答案：(Ⅰ)令F(x)=
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且满足J f(x)dx=0，fxf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
答案：
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，G(x)=∫0
ξ∈(x
1
，x
2
)使得
问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
ξ∈(0，1)使得
答案：
正确答案：
因此F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导． 由于f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知，<...
因此F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导． 由于f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知，<...
问答题
设f(x)在(a，b)内可导，且
设f(x)在(a，b)内可导，且
x
0
∈(a，b)使得f’(x)
又f(x
0
)＞0(<0)，
f(x)＜0(＞0)(如图4．12)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．
答案：
正确答案：由
x1∈(a，x0)使f(x1)...
x1∈(a，x0)使f(x1)...
在(0，+∞)内只有两个不同的实根．
问答题
设f(x)在[a，b]连续，在(a，6)可导，又b＞a＞0，求证：
设f(x)在[a，b]连续，在(a，6)可导，又b＞a＞0，求证：
ξ，η∈(a，b)使得 f’(ξ)=ηf’(η)
．
答案：
正确答案：把所证的结论改写成f’(ξ)=
．由
分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理→
ξ...
．由
分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理→
ξ...
的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
+D(t
n
) (t→0)即得
+o(x
2n
) (x→0)．
．
问答题
确定常数a和b的值，使f(x)=x一(a+
确定常数a和b的值，使f(x)=x一(a+
)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
答案：
正确答案：
不难看出当1一a一b=0与
一6=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=...
不难看出当1一a一b=0与
一6=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=...
问答题
设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且
设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且
=e
4
，求f(0)，f’(0)，…，f
(n)
(0)．
答案：
正确答案：1)先转化已知条件．由
=e4知
再用当x→0时的等价无穷小因子替换...
=e4知
再用当x→0时的等价无穷小因子替换...
．
问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
c∈(0，1)，有 ｜f’(c)｜≤2a+
b．
答案：
正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+<...
c∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+<...
问答题
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
ξ∈(a，b)，使得
f(b)=f(a)+f’
(b—a)
3
f"’(ξ)．
答案：
正确答案：将f(x)在x0=
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
问答题
在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： (Ⅰ)f(x)=tanx(x 3 )； (Ⅱ)f(x)=sin(sinx) (x 3 )．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
→ f(x)=f(0)+f’(0)x+
f"’(0)x3+o...
→ f(x)=f(0)+f’(0)x+
f"’(0)x3+o...
问答题
求F列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余额的n阶泰勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
求F列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余额的n阶泰勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
； (Ⅱ)f(x)=e
x
sinx
答案：
正确答案：(Ⅰ) 由f(x)=
，可得对m=1，2，3，…有 f(m)(x)=2(—1)...
，可得对m=1，2，3，…有 f(m)(x)=2(—1)...
