问答题

计算下列积分：

答案：【解】因分段函数

则由定积分的分段可加性得

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求

答案：【解】

设
求

答案：【解】当x＞1时，

当0≤x≤1时，

当x＜0时，

因...

求不定积分

答案：【解】

已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求

答案：【解】由于

又由于(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，
因此

故

求不定积分

答案：【解】方法一

方法二

求

答案：【解】方法一

方法二

求

答案：【解】借助下图得

求

答案：【解】

而

所以

于是

求

答案：【解】方法一因为

所以可令

比较系数得，

方法二

求

答案：【解】方法一

方法二

求

答案：【解】方法一

方法二

于是

所以

求

答案：【解】

求

答案：【解】利用表格的形式：

求

答案：【解】方法一令

所以

方法二

计算
(a＞0是常数)．

答案：【解】

设
计算

答案：【解】设lnx=t，则x=e ^t ，

求

答案：【解】设x=tanu，则dx=sec ² udu，

求不定积分

答案：【解】令

于是

求下列积分：

答案：【解】本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好u和dv．

计算下列积分：
其中，[x]表示不超过x的最大整数．

答案：【解】因分段函数

则由定积分的分段可加性得

求下列积分：

答案：【解】本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方．

求

答案：【解】

计算下列积分：

答案：【解】因分段函数

则由定积分的分段可加性得

求下列积分：

答案：【解】因x=-[(1-x)-1]，从而可用凑微分法．

计算定积分

答案：【解】令1-x=sint，则

求下列积分：

答案：【解】本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，...

计算下列积分：设
求

答案：【解】令t=x-2，则由定积分的分段可加性得，

设
求

答案：【解】令u=sin ² x，则有

于是

计算定积分

答案：【解】

计算下列积分：已知
求

答案：【解】令t=x-2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，

求下列积分：

答案：【解】此题计算量大些，考虑用分部积分法．
先计算

然后分部积分，留arccosx，移

到d后面，即

设函数x=x(y)由方程x(y-x) ² =y所确定，试求不定积分

答案：【解】令y-x=t，则(y-t)t²=y，故

从而有
...

求下列积分：

答案：【解】由于(x-lnx)"≠1-lnx，分子分母同时除以x ² 得

注意到

求下列积分：

答案：【解】一般会想到如下解法：用牛顿—莱布尼茨公式，令t=tanx，则x=arctant，
则

计算

答案：【解】令

则x=t ² ，dx=2tdt，故

计算
其中，当x≥0时，f(x)=x，而

答案：【解】方法一令x=u-t，则

于是

方法二令x-t=u，则

已知f(x)连续，
求
的值．

答案：【解】令x-t=u，有

于是

两边对x求导，得

在上式中，令

得

计算

答案：【解】

设
证明：
，并由此计算I _n ；

答案：【证】

当n=2k时，

当n=2k+1时，

其中

设
证明：

答案：【证】由

时，0＜tanx＜1，于是

则

计算
其中

答案：【解】由分部积分法可知

又因为，f(1)=0，

故

对于实数x＞0，定义对数函数
依此定义试证：

答案：【证】令

则有

计算

答案：【解】由分部积分可得

故

递推得

又

所以

对于实数x＞0，定义对数函数
依此定义试证：ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)．

答案：【证】令t=xξ，则有

计算

答案：【解】因为

所以x=0不是瑕点．
由

可得

这里用到了