问答题

从抛物线y=x²-1上的点P引抛物线y=x²的切线，证明该切线与y=x²所围成的面积与P点的位置无关．

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{{HTML}} 设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且f(0)=0，f’(x)单调增加，试证：
在(0，a)内也单调增加．

{{HTML}} 证明曲线
有三个拐点位于同一直线上．

{{HTML}} 函数f(x)在(a，b)上称为凹的(凸的)，如果对此区间中任意两点x₁，x₂以及任意数λ₁，λ₂(λ₁＞0，λ₂＞0，且λ₁+λ₂=1)有不等式
f(λ₁x₁+λ₂x₂)＜λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂) [或f(λ₁x₁+λ₂x₂)＞λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂)]，
试证：(1)若a＜x＜b时，f"(x)＞0，则函数于(a，b)内为凹的；
(2)若a＜x＜b时，f"(x)＜0，则函数于(a，b)内为凸的．

{{HTML}} 证明：由平面图形0≤a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体体积为

其中f(x)是[a，b]上的连续函数．

{{HTML}} 求由曲线y=4-x²及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转一周所得旋转体的体积．

{{HTML}} 已知f(x)在点x₀的邻域内有定义，且有

其中，n为正整数；k≠0，讨论f(x)在x₀处是否有极值．

{{HTML}} 设φ(x)在x=x₀处连续，且φ(x₀)≠0，试研究f(x)=(x-x₀)ⁿφ(x)在x=x₀处的极值，其中n为正整数．

{{HTML}} 在椭圆
内嵌入一内接矩形，使其边平行于椭圆的轴，且面积最大．

{{HTML}} 曲线y=4-x²与y=1+2x相交于A，B两点，在抛物线上AB两点间求一点C，使△ABC的面积最大，并求最大面积．

{{HTML}} 由直线y=0，x=8及抛物线y=x²围成一个曲边三角形，在曲边y=x²上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y=0及x=8所围成的三角形面积最大．

{{HTML}} 设f(x)在[a，b]上连续，f(a)=f(b)=0，f’₊(a)·f’_-(b)＞0，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0．

{{HTML}} 设a₀，a₁，…，a_n为满足

的实数，证明方程a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=0在(0，1)内至少有一个实根．

{{HTML}} 设f(x)在(-∞，+∞)内可微，证明：在f(x)的任何两个零点之间必有f(x)+f’(x)的一个零点．

{{HTML}} 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且

证明：存在一个ξ∈(0，π)使得f’(ξ)=0．

{{HTML}} 证明方程
在(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．

{{HTML}} 设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x．

{{HTML}} 设f(x)在[a，+∞)上连续，当x＞a时，f’(x)＞k＞0，其中k为常数，又f(a)＜0，证明：方程f(x)=0在
内有唯一实根．

{{HTML}} 试讨论方程xe^-x=a(a＞0)的实根．

{{HTML}} 设f(x)在[a，+∞]中二阶可导，并满足f(a)=A＞0，f’(a)＜0，当x＞a时，f"(x)＜0，证明：方程f(x)=0在(a，+∞)内有且仅有一个实根．

{{HTML}} 证明：当a²-3b＜0时，实系数方程x³+ax²+bx+c=0只有唯一的实根．

{{HTML}} 描绘函数
的图形．

{{HTML}} 求界于两椭圆
之间的图形面积．

从抛物线y=x²-1上的点P引抛物线y=x²的切线，证明该切线与y=x²所围成的面积与P点的位置无关．

{{HTML}} 过点P(1，0)作抛物线
的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕z轴旋转一周所成旋转体体积(如图所示)．

{{HTML}} 求星形线
所同成的图形绕x轴旋转所得旋转体体积．

{{HTML}}函数f(x)对于一切实数x满足微分方程
xf"(x)+3x[f’(x)]²=1-e^-x， ①{{HTML}} 若f(x)在点x=c(c≠0)有极值，试证它是极小值；

{{HTML}}函数f(x)对于一切实数x满足微分方程
xf"(x)+3x[f’(x)]²=1-e^-x， ①{{HTML}} 若f(x)在点x=0有极值，则它是极大值还是极小值?

{{HTML}}设
试求{{HTML}} 将f(x)的极大值M用a表示出来；

{{HTML}}设
试求{{HTML}} 将上一小题中的M看作a的函数，求M为极小值时a的值．

{{HTML}}对一切实数t，函数f(t)是连续的正函数，又f(-t)=f(t)，函数

{{HTML}} 证明g’(x)是单调增大的；

{{HTML}} 证明：当x≥0时，
的最大值不超过

{{HTML}}对一切实数t，函数f(t)是连续的正函数，又f(-t)=f(t)，函数

{{HTML}} 求出使函数g(x)取最小值的x值；

{{HTML}}对一切实数t，函数f(t)是连续的正函数，又f(-t)=f(t)，函数

{{HTML}} 将函数g(x)的最小值作为a的函数，它等于f(a)-a²-1时，求f(t)．