问答题

设f(x)=3x ² +Ax ^－3 (x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20

答案：正确答案：f(x)≥20等价于A≥20x³－3x⁵，令φ(x)=20x

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设a＞0，x ₁ ＞0，且定义x _n+1 =
(n=1，2，…)，证明：
存在并求其值．

答案：正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有
故{x_n}_n=2

证明：

答案：正确答案：当x∈[1，2]时有
当x∈[2，3]时有
… 当x∈[n，n+1]时有
又当x...

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且
证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．

答案：正确答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，
由闭区...

设f(x)=3x ² +Ax ^－3 (x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20

答案：正确答案：f(x)≥20等价于A≥20x³－3x⁵，令φ(x)=20x

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’ ₊ (a)f’ _b (b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．

答案：正确答案：不妨设f’₊(a)＞0，f’_－(b)＜0，根据极限的保号性，由f’...

设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2－∫ ₀ ¹ (x)dx．

答案：正确答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)－f(...

设
求f(x)．

答案：正确答案：令lnx=t，则
当t≤0时，f(t)=t+C；当t＞0时，f(t)=e’+C₂

设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：

答案：正确答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f’(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．求旋转曲面的方程；

答案：正确答案：
={－1，1，1}，直线AB的方程为
设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截...

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．

答案：正确答案：对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为A(z)=π(x²+y²

计算
其中D={(x，y)｜－1≤x≤1，0≤y≤2)．

答案：正确答案：令D ₁ ={(x，y)｜－1≤x≤1，0≤y≤x ² }，D ₂ ={(x，y)｜－1≤x≤1，x ² ≤y≤2)，则

设a _n =∫ ₀ ¹ x ² (1一x) ⁿ dx，讨论级数
的敛散性，若收敛求其和．

答案：正确答案：a_n=∫₀¹x²(1－...

求函数f(x)=ln(1－x－2x ² )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．

答案：正确答案：f(x)=ln(1－x－2x ² )=ln(x+1)(1－2x)=ln(1+x)+ln(1－2x)，因为

设级数
绝对收敛．

答案：正确答案：令S_n=(a₁－a₀)+(a₂

设函数f(x，y)可微，
求f(x，y)．

答案：正确答案：由
解得f(0，y)=Csiny．由
得C=1，即f(0，y)=siny．又由

设商品需求函数为
求收益R对价格P的弹性．

答案：正确答案：收益函数为

收益R对价格P的弹性为