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问答题
设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
答案：
[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2...
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问答题
设向量组α 1 ，α 2 ，…，α n-1 为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β 1 ，β 2 正交．证明：β 1 ，β 2 线性相关．
答案：
[证明] 令
因为α1，α2，…，αn-1与...
因为α1，α2，…，αn-1与...
问答题
设齐次线性方程组
设齐次线性方程组
其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解在有无穷多个解时求出其通解．
答案：
[解]
(1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；
(2)当a=b时，方程组...
(1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；
(2)当a=b时，方程组...
问答题
设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又
设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又
且AB=O，求方程组AX=0的通解．
答案：
[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．
(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=...
(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=...
有解
α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α
1
=
求方程组(Ⅰ)的基础解系；
(Ⅱ)
求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；
的基础解系为
的基础解系为
问答题
设(Ⅰ)
设(Ⅰ)
α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α
1
=
求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；
答案：
[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，
为方程组(Ⅱ)的基础解系；
为方程组(Ⅱ)的基础解系；
(Ⅱ)
求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．
问答题
设(Ⅰ)
设(Ⅰ)
α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α
1
=
(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解若有公共解求出其公共解．
答案：
[解] 方程组(Ⅰ)的通解为
方程组(Ⅱ)的通解为
令
，则有
取k...
方程组(Ⅱ)的通解为
令
，则有
取k...
问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组
(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组
(Ⅲ)是同解方程组．
的一个基础解系为
写出
的通解并说明理由．
问答题
设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
答案：
[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2...
所以
问答题
设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．设ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ r 与η 1 ，η 2 ，…，η s 分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ r ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性无关．
答案：
[证明] 因为
所以方程组
只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1...
所以方程组
只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1...
问答题
设A为n阶矩阵，A 11 ≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．
答案：
[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A*b=A<...
问答题
设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足
设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足
．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．
答案：
[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1
的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．
问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解有解时求出全部解．
