问答题

设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是0.6，乙命中目标的概率是0.5，求下列事件的概率：从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；

答案：【解】该随机试验分为两个阶段：①选人，A _甲，A _乙；②射击，B={目标被命中}．则

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设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．

答案：【解】设事件A_i={从10件产品中任取两件，有i件不合格品}，i=0，1，2．记B=A_1...

设有大小相同、标号分别为1，2，3，4，5的五个球，同时有标号为1，2，…，10的十个空盒．将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：
(1)A={某指定的五个盒子中各有一个球}；
(2)B={每个盒子中最多只有一个球}；
(3)C={某个指定的盒子不空}．

答案：【解】每个球都有10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10⁵．
(1)5个球放入...

设
试证明：P(A)+P(B)-P(C)≤1．

答案：【证】因为
所以
P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1，<...

设P(A)＞0，P(B)＞0．证明：A，B互不相容与A，B相互独立不能同时成立．

答案：【证】一方面，若A、B互不相容，则
于是P(AB)=0≠P(A)P(B)＞0，所以A、B不相互独立；另一方面．...

证明：若三事件A，B，C相互独立，则A∪B及A-B都与C独立．

答案：【证】P((A∪B)C)=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)
=P(A)P(C)+P(B)...

袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率．

答案：【解】设A={发现是同一颜色}，B={全是白色}，C={全是黑色}，则
A=B+C，
所求概率为

甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率．

答案：【解】设A={从乙袋中取出的是白球}，B _i ={从甲袋中取出的两球恰有i个白球}，i=0，1，2．
由全概率公式

有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为α，乙命中目标的概率为β．甲先射，谁先命中谁得胜．问甲、乙两人获胜的概率各为多少

答案：【解】令A _i ={第i次命中目标}，i=1，2，…．所以

故

某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的．某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年52周)，那么他从未中奖的可能性是多少

答案：【解】令A_i={第i次中奖}(i=1，2，…，520)，
p=P{在一次购买彩票中中奖}...

设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是0.6，乙命中目标的概率是0.5，求下列事件的概率：从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；

答案：【解】该随机试验分为两个阶段：①选人，A _甲，A _乙；②射击，B={目标被命中}．则

验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装．统计资料表明，每箱最多有2只残品，且含0，1，2件残品的箱各占80%，15%，5%．现在随意抽取一箱，随意检验其中4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换．试求一次通过验收的概率；

答案：【解】设A_i={抽取的一箱中含有i件次品}(i=0，1，2)，则A₀，A

设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是0.6，乙命中目标的概率是0.5，求下列事件的概率：甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率．

答案：【解】该随机试验不分阶段，
A _甲 ={甲命中}，A _乙 ={乙命中}，B={目标被命中}，
则

验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装．统计资料表明，每箱最多有2只残品，且含0，1，2件残品的箱各占80%，15%，5%．现在随意抽取一箱，随意检验其中4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换．试求通过验收的箱中确实无残品的概率．

答案：【解】由贝叶斯公式得

甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7．设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率．

答案：【解】设A={飞机被击落}，B_i={飞机中i弹}，i=1，2，3．则
P(A)=P(B<...

某考生想借张宇编著的《张宇高等数学18讲》，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率．

答案：【解】设A={该生能借到此书}，B _i ={从第i馆借到}，i=1，2，3．则

于是

设昆虫产k个卵的概率为
又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有L条的概率是多少

答案：【解】设A={下一代有L条}，B _k ={产k个卵}，k=L，L+1，…，则

盒子中有n个球，其编号分别为1，2，…，n，先从盒子中任取一个球，如果是1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是k(1≤k≤n)号球，求第一次取到1号球的概率．

答案：【解】设A={第一次取到1号球}，B={第二次取到k号球}，C={第一次取到k号球}，则有

(1)...

甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜．求甲、乙最终获胜的概率．比赛是否有可能无限地一直进行下去

答案：【解】设A={甲最终获胜}，B={乙最终获胜}．在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为C₁，则...

向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离X的分布函数F(x)，并求

答案：【解】如下图所示，

所以

随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率．

答案：【解】如下图所示，有

一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为
，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布．

答案：【解】

以此类推，得X的分布律为

一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率
(i=1，2，3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布律．

答案：【解】设A _i ={第i个零件是合格品}，i=1，2，3，则

即X的分布律为

设随机变量X的概率密度为

求：常数A；

答案：【解】

设随机变量X的概率密度为

求：使P{X＞a}=P{X＜a}成立的a．

答案：【解】

可见cosa=0，故

设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞．
求：系数A与B；

答案：【解】由分布函数的性质

于是

所以X的分布函数为

设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数．

答案：【解】f(x)的图形如下图所示，则X的分布函数为

设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞．
求：P{-1＜X≤1}；

答案：【解】

设电子管寿命X的概率密度为
若一台收音机上装有三个这种电子管，求：
(1)使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；
(2)在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；
(3)Y的分布函数．

答案：【解】Y为“在使用的最初150小时内烧坏的电子管数”，Y～B(3，p)，其中

(1)所...

设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-∞＜x＜+∞．
求：X的概率密度．

答案：【解】X的概率密度为

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)服从参数为
的指数分布．若等待时间超过10分钟，他就离开．设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及P{Y≥1)．

答案：【解】由题意Y～B(5，p}，其中

于是Y的分布为

设随机变量X的概率密度为
求Y=e ^X 的概率密度f _Y (y)．

答案：【解】用分布函数法．设Y的分布函数为F _Y (y)，则

假设随机变量X服从参数为λ的指数分布．求随机变量Y=1-e ^-λX 的概率密度函数f _Y (y)．

答案：【解】方法一(分布函数法) 由题设条件知，X的密度函数与分布函数分别为

所以当y≤0时...

设随机变量X的概率密度为
求Y=sinX的概率密度．

答案：【解】设Y的分布函数为F_Y(y)，则
F_Y(y)=P{Y≤y}=P...

设X在[0，2π]上服从均匀分布，求Y=cosX的密度函数．

答案：【解】当-1＜y＜1时，
F _Y (y)=P{cosX≤y}=P{arccosy≤X≤2π-arccosy}

设随机变量X的概率密度为
F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的分布函数．

答案：【解】对X的密度函数积分得X的分布函数

设G(y)是Y=F(X)的分布函数．
...

设随机变量X在[0，π]上服从均匀分布，求Y=sinX的密度函数．

答案：【解】方法一(公式法) 由题设条件

函数y=sinx在
上单调增加，在

已知随机变量X ₁ 与X ₂ 的概率分布，
而且P{X ₁ X ₂ =0}=1．求X ₁ 与X ₂ 的联合分布；

答案：【解】由联合分布与边缘分布的关系可知，X₁与X₂的联合分布有如下形式：

已知随机变量X ₁ 与X ₂ 的概率分布，
而且P{X ₁ X ₂ =0}=1．问X ₁ 与X ₂ 是否独立为什么

答案：【解】由联合分布表可以看出

而

所以，X ₁ 与X ₂ 不独立．

设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
求随机变量Z=2X+Y的概率密度f _Z (z)．

答案：【解】本题可以按以下公式先算出Z的分布函数F_Z(z)：

然后对F...

设随机变量(X，Y)的概率密度为
求随机变量Z=X-Y的概率密度f _Z (z)．

答案：【解】由于X，Y不是相互独立的，所以记V=-Y时，(X．V)的概率密度不易计算．应先计算Z的分布函数，再计算概率密度f<...