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问答题
设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．
答案：
正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f’(0)x+<...
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的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
问答题
求e -x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
答案：
正确答案：把t=-x
2
代入e
t
=1+t+
+o(t
n
)(t→0)即得 e
-x2
=1-x
2
+
o(x
2n
)(x→0)．
+o(t
n
)(t→0)即得 e
-x2
=1-x
2
+
o(x
2n
)(x→0)．
=e
4
，求f(0)，f’(0)，…，f
(n)
(0)．
问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：
∈(0，1)，有 ｜f’(c)｜≤2a+
b.
答案：
正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
∈[0，1]，
∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+...
∈[0，1]，
∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+...
问答题
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
∈(a，b)，使得
f(b)=f(a)+
(b-a)
2
f’’’(ξ)．
答案：
正确答案：将f(x)在x0=
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
其中ξ...
问答题
在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： (Ⅰ)f(x)=tanx(x 3 )； (Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x 3 )．
答案：
正确答案：(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A<...
问答题
求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
(Ⅱ)f(x)=e
x
sinx．
答案：
正确答案：通过求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)及f(n+1)(x)...
(Ⅱ)∫
0
x
(e
t
-1-t)
2
dt．
问答题
设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当
设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当
∈(0，+∞)时
｜f(x)｜≤M
0
，｜f’’’(x)｜≤M
3
，
其中M
0
，M
3
为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．
答案：
正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f’(x)+
问答题
设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．
答案：
正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f’(0)x+<...
问答题
设f(x)在(x
0
-δ，x
0
+δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(
0
)=0，k=2，3，…，n-1；f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0
+h)=f(x
0
)=hf’(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
设f(x)在(x
0
-δ，x
0
+δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(
0
)=0，k=2，3，…，n-1；f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0
+h)=f(x
0
)=hf’(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
答案：
正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x...
问答题
求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=
求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=
(x
3
)；
(Ⅲ)f(x)=
，其中a＜0 (x
2
)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)ex=1+x+
x3+o(x3
x3+o(x3
(Ⅱ)
问答题
确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：
(Ⅰ)f(x)=e
x
-1-x-
确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：
(Ⅰ)f(x)=e
x
-1-x-
xsinx；
(Ⅱ)f(x)=
cosx-1．
答案：
正确答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶． 原式=1+x+
+o(x3)-1-x-
+o(x3)-1-x-
=1，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．
问答题
设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．
答案：
正确答案：f(x)在x=a可展开成 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+
f’’(a)(x-a)
f’’(a)(x-a)
问答题
设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f (4) (a)≠0，求证：当f (4) (a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．
答案：
正确答案：f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+
f’’(a)(x-a)2+
f’’(a)(x-a)2+
