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问答题
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
答案：
正确答案：必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，...
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试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
问答题
已知齐次方程组为
已知齐次方程组为
其中
a
i
≠0。讨论当a
1
，a
2
，…，a
n
和6满足何种关系时：
(Ⅰ)方程组仅有零解；
(Ⅱ)方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。
答案：
正确答案：对齐次线性方程组的系数矩阵A作初等变换，即
(Ⅰ)当b≠0且b≠
ai
(Ⅰ)当b≠0且b≠
ai
问答题
已知齐次线性方程组(Ⅰ)
已知齐次线性方程组(Ⅰ)
和(Ⅱ)
同解，求a，b，c的值。
答案：
正确答案：因为方程组(Ⅱ)中方程个数小于未知数个数，(Ⅱ)必有无穷多解，所以(Ⅰ)必有无穷多解，因此(Ⅰ)的系数行列式必...
问答题
设齐次线性方程组
设齐次线性方程组
的系数矩阵为A=
设M
i
(i=1，2，…，n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明：
(Ⅰ)(M
1
，-M
2
，…，(-1)
n-1
M
n
)是方程组的一个解向量；
(Ⅱ)如果A的秩为n-1，则方程组的所有解向量是(M
1
，-M
2
，…，(-1)
n-1
M
n
)的倍数。
答案：
正确答案：(Ⅰ)作n阶行列式 Di=
，i=1，2，…，n-1。 因为Di
，i=1，2，…，n-1。 因为Di
，3阶矩阵B≠O，且有AB=O，求λ。
问答题
设n元线性方程组Ax=b，其中
设n元线性方程组Ax=b，其中
(Ⅰ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x
1
；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
答案：
正确答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an...
无解有解有解时写出全部解。
问答题
设线性方程组
设线性方程组
(Ⅰ)证明当a
1
，a
2
，a
3
，
4
两两不相等时，方程组无解；
(Ⅱ)设a
1
=a
3
=k，a
2
=a
4
=-k(k≠0)，并且β
1
=(-1，1，1)
T
和β
2
=(1，1，-1)
T
是两个解。求此方程组的通解。
答案：
正确答案：(Ⅰ)增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于
=(a2-a1...
=(a2-a1...
问答题
设线性方程组
设线性方程组
与方程x
1
+2x
2
+x
3
=a-1 (2)
有公共解，求a的值及所有公共解。
答案：
正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组
则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。 对方程组...
则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。 对方程组...
问答题
设A=
设A=
，已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。
答案：
正确答案：(Ⅰ)因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A)=
＜n。于是 ｜A｜=
=(λ+...
＜n。于是 ｜A｜=
=(λ+...
问答题
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
答案：
正确答案：必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，...
问答题
是否存在平面二次曲线y=ax 2 +bx+c，其图像经过以下各点：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。
答案：
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问答题
已知线性方程组
已知线性方程组
(Ⅰ)当a，b，c满足什么关系时，方程组只有零解(Ⅱ)当a，b，c满足什么关系时，方程组有非零解并求通解。
答案：
正确答案：方程组系数矩阵A的行列式 ｜A｜=
=(b-a)(c-a)(c-b)。(范德蒙德行列式) (Ⅰ)当a...
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问答题
设四元线性方程组(1)为
设四元线性方程组(1)为
又已知齐次线性方程组(2)的通解为k
1
(0，1，1，0)
T
+k
2
(-1，2，2，1)
T
。
(Ⅰ)求方程组(1)的基础解系；
(Ⅱ)问线性方程组(1)，(2)是否有非零公共解若有，则求出所有非零公共解；若没有，说明理由。
答案：
正确答案：(Ⅰ)方程组(1)的同解方程组为
基础解系为ξ1=
，ξ2...
基础解系为ξ1=
，ξ2...
问答题
已知A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )是四阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 是四维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，β-α 4 )，求方程组Bx=3α 1 +5α 2 -α 3 的通解。
答案：
正确答案：由方程组Ax=β的通解表达式可知 R(A)=R(α1，α2，α
有3个线性无关的解。(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解。
问答题
已知线性方程组
已知线性方程组
有解(1，-1，1，-1)
T
。
(Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解；
(Ⅱ)写出x=x时的全部解。
答案：
正确答案：将(1，-1，1，-1)T代入第1个方程，可得λ=μ。 (Ⅰ)已知方程组的一个特解为(1...
问答题
已知α 1 =(1，2，1，1，1) T ，α 2 =(1，-1，1，0，1) T ，α 3 =(2，1，2，1，2) T 是齐次线性方程组Ax=0的解，且R(A)=3，试写出该齐次线性方程组Ax=0。
答案：
正确答案：由于α1，α2，α3是5维列向量，故方程组A...
