问答题

求柱体x²+y²≤2x被x²+y²+z²=4所截得部分的体积．

答案： [解]
其中D={(x，y)|x²+y²≤2x，y≥0}，用极坐...

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记平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：
，其中f(t)为定义在(-∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；

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的正方形，故其面积S_D=2，因为积分区域D关于直线...

记平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：

答案： [解] 因为积分区域D关于直线y=x对称，又关于y轴，x轴对称；函数e^λx-e^-λx

设
在D=[a，b]×[c，d]上连续，求

并证明：I≤2(M-m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．

答案： [解]

显而易见，I≤2(M-m)．

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答案： [解]

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的大小，并说明理由

答案： [解]

由于D关于直线y=x对称，所以I₁-I₂

求下列曲面所围成的立体体积：

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求柱体x²+y²≤2x被x²+y²+z²=4所截得部分的体积．

答案： [解]
其中D={(x，y)|x²+y²≤2x，y≥0}，用极坐...

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答案： [解] 设此薄片重心的坐标为

，则

变换下列二次积分的积分次序：

答案： [解] 如下图1所示，

，则

图1

变换下列二次积分的积分次序：

答案： [解] 如下图2所示，

则

图2

计算
，其中D由y=-x，x²+y²=4，
所围成．

答案： [解] 由
可得(x-1)²+y²=1，其中y≥0．
...

变换下列二次积分的积分次序：

答案： [解] 如下图3所示，D=D₁∪D₂，其中

<...

设
，其中D为正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．

答案： [解]

变换下列二次积分的积分次序：

答案： [解] 如下图4所示，

故

图4

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，计算积分

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答案： [解] 由对称性知
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其中y=...

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答案： [解] 记
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答案： [解] 区域x²+y²+z²≤x+y+z，即

计算曲线积分
，其中L：(x-1)²+y²=2，其方向为逆时针方向．

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f(tx，ty)=t²f(x，y)．设D是由L：x²+y²=4正向一周所围成的闭区域，证明：

答案： [证] 由

得

即

故

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及