问答题

设xOy平面上有正方形D{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积(如图)，试求
．

答案：解由题设知

所以，当0≤x≤1时，

...

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已知
，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

答案：由矩阵A的特征多项式

得到A的特征值是λ₁=1-...

已知函数

在区间(-∞，+∞)内存在原函数，求常数A，并求f(x)在区间(-∞，+∞)内的所有原函数．

答案： [解] 由于f(x)在区间(-∞，+∞)内存在原函数，所以f(x)在区间(-∞，+∞)内连续，或f(x)在区间(-∞，+...

设A是三阶矩阵，其特征值是1，2，3，若A与B相似，求|B^*+E|．

答案： [解] 因为A～B，所以B的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃

设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(a)=f(b)=0，且f’(a)f’(b)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0，又至少存在一点η∈(a，b)，使得f"(η)=0．

答案：由导数定义及其极限的保号性可找到两点x₁，x₂，使f(x₁

设xOy平面上有正方形D{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积(如图)，试求
．

答案：解由题设知

所以，当0≤x≤1时，

...

设函数y=y(x)由方程y=xe^y=1所确定，求
的值．

答案：解方程两边对x求导得 y’e^y-xe^yy’=0，
...

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案： [证明] 令

因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，
所以

求微分方程y"+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y’(0)=1的特解，其中连续函数f(x)满足条件
。

答案：解：由于
，则题设条件可表示为
。
在两边对x求导，得
；
...