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问答题
设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵．
设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵．
答案：
[证] 设A的特征值为λ1，λ2，…，λn(λ
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的秩为2，求参数c及此二次型对应矩阵的特征值．
问答题
设A为n阶实对称矩阵，秩r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
设A为n阶实对称矩阵，秩r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；
答案：
[解] 二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式为<...
写出二次型f的矩阵表达式；
的秩为2． 求a的值；
已知A的一个特征值为3，试求y；
已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求 a的值；
的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形．
问答题
设A为n阶实对称矩阵，秩r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
设A为n阶实对称矩阵，秩r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范型是否相同说明理由．
答案：
[解] 方法一：因为
(A-1)T<...
(A-1)T<...
用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵．
问答题
设二次型
设二次型
经正交变换x=Qy化成
其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，Q是正交矩阵，试求参数α，β的值．
答案：
[解] 变换前后二次型的矩阵分别为
二次型可以写成
...
二次型可以写成
...
求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角阵．
已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求 正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
问答题
设二次型
设二次型
经正交变换X=QY，化成
，其中X=(x1，x2，x3)T，Y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是3阶正交矩阵，试
(1)确定常数α(＜0)，β的值；
(2)求正交矩阵Q；
(3)若XTX=3，求f(x1，x2，x3)的最大值．
答案：
[解] 变换前后二次型的矩阵分别为
(1)由A～B
tr(A...
(1)由A～B
tr(A...
问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
答案：
[证] 必要性．设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有XT(...
问答题
设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
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答案：
[解] 由题设条件知，对于任意的x1，x2，…，xn，...
问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．
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答案：
[证] 必要性．
设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x
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问答题
设A为三阶实对称矩阵，且满足关系式A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2． 当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
设A为三阶实对称矩阵，且满足关系式A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2． 当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
答案：
[解] 矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由上一小题知，A+kE的全部特征值为-2+k，-2+k，k．
于是...
于是...
为椭球面的概率．
