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问答题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式，证明下列结论：
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式，证明下列结论：
答案：【证】当aij=-Aij时，有AT=-A*<...
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答案：【解】按第一列展开，得
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答案：【解】方法一 把Dn按第一行展开，得
把递推公式①改写成 - 问答题
已知n(n≥3)阶实矩阵A=(a ij ) n×n 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，…，n)，其中A ij 是a ij 的代数余子式：(2)a 11 ≠0．求|A|．
答案：【解】由已知aij=Aij，所以A*=AT<... - 问答题
计算
答案：【解】按第一行展开
得到递推公式
D5-D4... - 问答题
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答案：【解】
故原式=(a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) 2 ． - 问答题
|A|是n阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是1．证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值．
答案：【证】不失一般性．设
又因
故
- 问答题
设
试证明：
使得f"(ξ)=0．
答案：【证】f(x)显然在[0，1]上连续，在(0，1)上可导．而
可知f(x)在[0，1]... - 问答题
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A ij 为A中元素a ij 的代数余子式，证明下列结论：
答案：【证】当aij=Aij时，有AT=A* - 问答题
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A ij 为A中元素a ij 的代数余子式，证明下列结论：
答案：【证】当aij=-Aij时，有AT=-A*<... - 问答题
设A是n阶矩阵，满足AA T =E(E是n阶单位矩阵，A T 是A的转置矩阵)，|A|＜0，求|A+E|．
答案：【解】由|A+E|=|A+AA T |=|A(E+A T )|=|A|·|(A+E) T |=|A|·|A+E|，
故
- 问答题
计算
，其中n＞2．
答案：【解】把第1行的(-x)倍分别加到第2，3，…，n行，得
当x≠0时，再把第j列的 - 问答题
设a 1 ，a 2 ，…，a s 是互不相同的实数，且
求线性方程组AX=b的解．
答案：【解】因a1，a2，…，an，互不相同，故由范德蒙德行... - 问答题
设B=2A-E．证明：B 2 =E的充分必要条件是A 2 =A．
答案：【证】因为B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，所... - 问答题
设A是n阶矩阵．证明：A=O的充要条件是AA T =O．
答案：【证】设
则若
应有
i=1，2，…，n，即aij - 问答题
设
证明：当n≥3时，有A
n
=A
n-2
+A
2
-E；答案：【证】用归纳法．
n=3时，因
验证得A3=A+A2-E... - 问答题
设
求A
100
．答案：【解】由上述递推关系可得
A100=A98+A2 - 问答题
设
计算A
2
，并将A
2
用A和E表出；答案：【解】
令
得
解得x=a+d，y=bc-ad，即
A 2 =(a+d)A+(bc-ad)E． - 问答题
证明：方阵A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是A是对角阵．
答案：【证】充分性 A是对角阵，则显然A可与任何对角阵可交换．
必要性 设
与任何对角阵可交换，则应与对角... - 问答题
设
设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：A
k
=O的充分必要条件为A
2
=O．答案：【解】充分性
k＞2，显然成立；
必要性 方法一
由(1)知A2=... - 问答题
证明：若A为n阶可逆方阵，A * 为A的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * ．
答案：【证】(A * ) T =(|A|A -1 ) T =|A|(A -1 ) T =|A|(A T ) -1 =|A T |(A T ) -1 =(A T ) * ． - 问答题
证明：若A为n阶方阵，则有|A * |=|(-A) * |(n≥2)．
答案：【证】设A=(aij)n×n，|A|的元素aij的代数... - 问答题
已知n阶方阵A满足矩阵方程A 2 -3A-2E=O．证明：A可逆，并求出其逆矩阵A -1 ．
答案：【证】A 2 -3A-2E=O，则
故A可逆，且
- 问答题
已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A k =O．证明：矩阵E—A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．
答案：【证】 E=E-Ak=Ek-Ak=(E-A)(E+A+... - 问答题
设
可逆，其中A，D皆为方阵．求证：A，D可逆，并求M
-1
．
答案：【证】
设M的逆矩阵为
所以
- 问答题
设矩阵
矩阵X满足AX+E=A
2
+X，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵X
答案：【解】由AX+E=A 2 +X，有(A-E)X=(A-E)(A+E)．又|A-E|=-1≠0．则
- 问答题
假设
求A的所有代数余子式之和．
答案：【解】先计算出
由于|A|=1，所以
A的所有代数余子式之和即为A * 所有元素之和为0． - 问答题
设(2E-C -1 B)A T =C -1 ，其中E是4阶单位矩阵，A T 是4阶矩阵A的转置矩阵，
求A．答案：【解】由(2E-C -1 B)A T =C -1 ，有
- 问答题
设
求A
n
．
答案：【解】
又EB=BE，所以
- 问答题
已知
求A
n
．
答案：【解】对A分块为
则B=3E+J，于是
而
C
2
=6C，…，C
n
=6
n-1
C，所以
- 问答题
设有两个非零矩阵A=[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T ，B=[b 1 ，b 2 ，…，b n ] T ．计算AB T 与A T B；
答案：【解】
A
T
B=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
． - 问答题
证明：若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则有r(AB)≥r(A)+r(B)-n．特别地，当AB=O时，有r(A)+r(B)≤n．
答案：【证】注意到
因为
是可逆矩阵，所以
而<... - 问答题
设有两个非零矩阵A=[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T ，B=[b 1 ，b 2 ，…，b n ] T ．求矩阵AB T 的秩r(AB T )；
答案：【解】因AB T 各行(或列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB T )=1． - 问答题
证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．
答案：【证】设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β - 问答题
设A是n阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0的充分必要条件是A=O．
答案：【解】充分性A=O，显然tr(AA T )=0．
必要性tr(AA T )=0，设
记B=AA T ，则
即A=O．
