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问答题
设ξ
0
＝(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
设ξ
0
＝(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
的一个解向量，试求：
(I)方程组(*)的全部解；
(Ⅱ)方程组(*)的解中满足x
2
＝x
3
的全部解．
答案：
正确答案：(I)将ξ0代入方程组，得－λ﹢μ＝0，即λ＝μ代入增广矩阵，并作初等行变换，有
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问答题
过第一象限中椭圆
过第一象限中椭圆
上的点(ξ，η)作该椭圆的切线，使该切线与两坐标轴的正向围成的三角形的面积为最小，求点(ξ，η)的坐标及该三角形的面积．
答案：
正确答案：由隐函数微分法知，过椭圆上点(ξ，η)处的切线斜率为
切线方程为
两坐标轴上的截距分别为<...
切线方程为
两坐标轴上的截距分别为<...
问答题
设f(x)在区间[－1，1]上存在二阶连续导数，f(0)＝0，f
’
(0),为已知，设
设f(x)在区间[－1，1]上存在二阶连续导数，f(0)＝0，f
’
(0),为已知，设
答案：
正确答案：将f(x)在x＝0处按带有拉格朗日余项的泰勒公式展开至n＝1，有 f(x)＝f’(0)x...
问答题
设n为正整数，F(x)＝∫
1
nx
e
－t3
dt＋∫
e
e(n＋1)x
设n为正整数，F(x)＝∫
1
nx
e
－t3
dt＋∫
e
e(n＋1)x
dt．
(I)证明对于给定的n，F(x)有且仅有1个(实)零点，并且是正的，记该零点为a
n
；
(Ⅱ)证明{a
n
}随n的增加而严格单调减少且
＝0．
答案：
正确答案：(I)
所以对于给定的n，F(x)有且仅有一个(实)零点，记为an，并且
所以对于给定的n，F(x)有且仅有一个(实)零点，记为an，并且
问答题
设微分方程xf ” (x)－f ’ (x)＝2x． (I)求上述微分方程的通解； (Ⅱ)求得的解在x＝0处是否连续若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x＝0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x＝0处的f ’ (0)及f ” (0)的存在性，要求写出推理过程．
答案：
正确答案：(I)当x≠0时，原微分方程可改写为 f”(x)＝－
f’
f’
｜sin(y－x)｜dσ．
问答题
已知摆线的参数方程为
已知摆线的参数方程为
其中0≤t≤2π，常数a>0．设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值．求a的值．
答案：
正确答案：摆线一拱的弧长为
摆线一拱绕x轴旋转一周所围成的旋转曲面的面积为
摆线一拱绕x轴旋转一周所围成的旋转曲面的面积为
问答题
设ξ
0
＝(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
设ξ
0
＝(1，－1，1，－1)
T
是线性方程组
的一个解向量，试求：
(I)方程组(*)的全部解；
(Ⅱ)方程组(*)的解中满足x
2
＝x
3
的全部解．
答案：
正确答案：(I)将ξ0代入方程组，得－λ﹢μ＝0，即λ＝μ代入增广矩阵，并作初等行变换，有
问答题
设α＝(1，2，3，4) T ，β＝(3，－2，－1，1) T ，A＝αβ T ． (I)求A的特征值、特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵说明理由．
答案：
正确答案：法一 (I)
故A有特征值λ＝0(四重根)． 当λ＝0时，(λE－A)x＝0即Ax＝0，其同解方程为...
故A有特征值λ＝0(四重根)． 当λ＝0时，(λE－A)x＝0即Ax＝0，其同解方程为...
