问答题

设函数z=(x，y)由方程x ² +y ² +z ² =xyz确定，求

答案：对方程x ² +y ² +z ² =xyz两端对y求偏导数，得

．

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设函数z=xφ(x+y)+yψ(x+y)，其中φ，ψ有二阶偏导数．证明

答案：证对x求导，得

再对x求导，得

类似可得，

，故

设z=x ^y ，证明

答案：证

故

设

答案：解

由于x和y轮换对称，从而有

故

求函数f(x，y)=e ^2x (x+2y+y ² )的极值．

答案：解先求驻点，再利用极值存在的充分条件判断是否存在极值点．
f"_x=[1+2(x+2y+...

求下列函数的定义域．z=ln(x ² +y ² -1)(2-x ² -y ² )．

答案：

无解，
故D={(x，y)|1＜x ² +y ² ＜2}．

求下列函数的定义域．

答案： D={(x，y)||x|≥3且|y|＜3}．

设
，求f" _x (0，1)．

答案：

设

答案：

设

答案：

设

答案：设

，z=ulnv，

设z=xln(x+y ² )，求dz．

答案：

设z=f(u，v)可微，且u=x ² y，

答案：

设函数z=f(x，y)由方程
所确定，求
．

答案：设

设z=uv+cost，其中u=e ^t ，v=sint，求
．

答案：

设

答案：设

设z=f(x，y)是可微函数，x=rcosθ，y=rsinθ，证明

答案：

两边平方后相加即得要证的结论．

求下列函数的全微分．z=e ^x²+y²

答案：因

求下列函数的全微分．z=arctan(xy)

答案：

求下列函数的全微分．z=e ^y(x²+y²)

答案： dz=e^y(x²+y²)d(yx²

求下列函数的全微分．z=xe ^-xy +sin(xy)

答案： dz=e^-xydx+xe^-xy(-ydx-xdy)+cos(xy)(ydx+...

求下列函数的全微分．z=f(2x+3y，e ^xy )

答案：设u=2x+3y，v=e ^xy ，则

dz=(2f" _u +ye ^xy f" _v )dx+(3f" _u +xe ^xy f" _u )dy．

求下列函数的全微分．z=sin(xy)+2x ² +y

答案： dz=cos(xy)(ydx+xdy)+4xdx+dy=[4x+ycos(xy)]dx+[1+xcos(xy)]dy．

设函数z=z(x，y)由方程x ² +z ² =2ye ^z 确定，求dz．

答案：设F(x，y，z)=x²+z²-2ye^z=0，

设函数z=(x，y)由方程x ² +y ² +z ² =xyz确定，求

答案：对方程x ² +y ² +z ² =xyz两端对y求偏导数，得

．

求f(x，y)=xy(1-x-y)，(x＞0，y＞0)的极值点．

答案：先求驻点．f"_x=y(1-x-y)-xy=y(1-2x-y)，f"_y=x(1...

求
的极值．

答案：由
A=f"_xx=1，B=f"_xy=-4，C=f"_yy<...

设随机变量X的分布列为

求a值，并求P{X＜1}；

答案：由0.1+a+0.2+0.1+0.3=1，得a=0.3．
求P{X＜1}只需将X＜1各点的概率相加即可，即

设随机变量X的分布列为

求E(X)；

答案： E(X)=0.1×(-2)+0.3×(-1)+0.2×0+0.1×1+0.3×2=0.2．

设随机变量X的分布列为

求D(X)及σ(X)．

答案： D(X)=E[x_i-E(X)]²
=(-2-0.2)^2<...