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问答题
设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：∫ 0 1 f(x)dx∫ x 1 f(y)dy=1／2[∫ 0 1 f(x)dx] 2 ．
答案：
正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫01f(x)dx∫
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于是 J=∫
－2
2
min{2，x
2
}dx=2∫
0
2
min{2，x
2
}dx
求f(x)的不定积分∫f(x)dx．
问答题
设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)=0，f"(x)＜0．求证：f(x)／x在(0，a]单调下降．
答案：
正确答案：由微分中值定理，
x∈(0，a]，ヨξ∈(0，x)使得 xf’(x)－f(x)=xf’(x)－[f(...
x∈(0，a]，ヨξ∈(0，x)使得 xf’(x)－f(x)=xf’(x)－[f(...
=1有且仅有一个解，求k的取值范围．
问答题
证明奇次方程a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +…+a 2n x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数a 0 ≠0．
答案：
正确答案：不妨设a0＞0．令f(x)=a0x2n+1+...
问答题
设曲线y=y(x)上
设曲线y=y(x)上
点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y=y(x)的方程．
答案：
正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y=y(x)在
点(x，y)处的切线斜率为dy／dx，与原点连线的斜率为y／x，按...
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问答题
已知α，β都是单位向量，夹角是π／3，求向量2α+β与－3α+β的夹角．
答案：
正确答案：|α|=1，|β|=1，α．β=|α||β|cos＜α，β＞
(2α+β)．(2α+β)=4+2β．...
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问答题
设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ’(u)≠1，求
设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ’(u)≠1，求
P(y)+P(x)．
答案：
正确答案：将原方程对x求导
+P(x)． ① 将原方程对y求导
－P(y)． ②
+P(x)． ① 将原方程对y求导－P(y)． ②
问答题
求下列二重积分计算I=
求下列二重积分计算I=
arctany／xdσ，其中D：1≤x
2
+y
2
≤9，
答案：
正确答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则D：1≤r≤3，π／6≤θ≤π／3．于是 I=∫π／6
|sin(x－y)|dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π；
f(x，y，z)dy，变成由z到y再到x的顺序．
这里每个二重积分都是矩形区域上二重积分的积分次序的交换．
问答题
设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：∫ 0 1 f(x)dx∫ x 1 f(y)dy=1／2[∫ 0 1 f(x)dx] 2 ．
答案：
正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫01f(x)dx∫
u
n
，若
(u
2n－1
+u
2n
)=(u
1
+u
2
)+(u
3
+u
4
)+…收敛，求证：
u
n
收敛．
问答题
设有级数
设有级数
u
n
，设u
2n－1
=1／n，u
2n
=∫
n
n+1
dx／x (n=1，2，…)，求证：
(－1)
n－1
u
n
收敛．
答案：
正确答案：
这是交错级数，已知
un=0．为证{un}单...
这是交错级数，已知
un=0．为证{un}单...
(a
n
－a
n－1
)收敛，又
b
n
是收敛的正项级数，求证：
a
n
b
n
绝对收敛．
问答题
考察级数
考察级数
a
n
p
，其中a
n
=
，p为常数．
(Ⅰ)证明：
(n=2，3，4，…)；
(Ⅱ)证明：级数
a
n
p
当p＞2时收敛，当p≤2时发散．
答案：
正确答案：(Ⅰ)将an2改写成
an
an
